《談天》

攝動 前數卷屢言月與行星于刻白爾所定三例外，尚有小差，名曰攝動。在行星則因他行星之攝力加之，令繞日之道小變。在月則有二故：一因本星之他月攝力加之，令繞星之道小變；二因日與他行星之攝力加於本星及月、時時不同，又生小變。攝動之差雖甚微然，積久則成大差，故古昔所定撱圜之根數，今不合也。 設天空只有一日一行星，則或行星繞日，或日與行星共繞一公重心，其所行之道必永久不變。設空中又增一體，則新體必攝二舊體，令其道生微差。蓋攝力加於二體不等，則二體相連屬之例必變而生差也。故差非生於攝二體之全力，而生於攝二體力之較也。 諸行星之質積較日皆甚微，最大者爲木星，亦僅得一千一百分日質積之一。故其攝力，較日亦甚微，而攝動他星之力甚小也。諸月所受攝動力最大者莫如日，但月距本星甚近，而距日甚遠，故星月二體受日攝力之較甚微。全攝力令星與月同繞日而其較令月星攝動奈端推我月受日攝動力之中數，爲六十三萬八千分地面攝力即重力。之一。而爲地令月行撱圜力一百七十九分之一。日之攝動力尚如此小，他行星攝動力之微更可知矣。故諸體攝動力之和，所生差甚微，然積久而著，則令所行之道亦變。其變之源從刹那時中起故當以法推刹那時中諸體攝動之和力所生微差以爲根。設欲密之又密，當推諸體互相攝動以求本體之差。然若歷時非甚遠亦不必如是，但分推各體攝動本體所生差並之，即得其法恒推三體之力，一中體，一發攝動力體，一受攝動力體。發力受力二體可交互相易，中體恒作不動論設二星相攝動則日爲中體。設二月相攝動或月爲日所攝動，則以本星爲中體，將日當作最遠之大月，其繞本星之道，如本星繞日之道。凡相攝動之二體，恒稱內行星外行星。日攝動月，月即內行星，日即外行星也。乃命發力體爲寅，中體爲申，受力體爲己設寅加攝力于申己二體等且平行則己或繞申行或己申共繞公重心其行俱不變。此如二球在空中，受地攝力下墜，其方位不變，攝力等故也。然攝力之理，近則大而遠則小，故寅加于己申二體之力必不能恒等。又方向恒不同，則亦不能平行。故不能不生攝動。今細論之，加於己體者有四力：一申攝己之力一己攝申之力己引申猶申引己也。此二力俱爲己申方向並爲一力。己依此力繞申成撱圜，一寅之攝力，在寅己方向，令己向寅一寅加申之攝力令己于寅申平行綫上退行。善蘭案：此力加申不加己，申依此力進行，一若己依此力退行，而申不動也。如圖，丙己甲爲受攝動體之道，寅乙爲發攝動體之道，二道面之交綫爲丙申甲乙，其交角爲己甲甲，引長寅己成寅卯，令寅卯與寅申比，若寅申之平方與寅己之平方比，則申寅綫顯寅加申之攝力大小方向，寅申綫即顯令己退行力之大小方向卯寅綫顯寅加於己之攝力大小方向。準重學理，卯寅寅申二力之並力綫爲卯申，即顯己所受攝動力之大小方向也。自己點與卯申平行作一相等綫，理即明。蓋攝動力實加於己也。設欲知卯申力若干，有比例如左： 【詳表見原書】 諸數皆已知故攝動力易推也。設發攝動體之道爲平圜則申寅不變而攝動力之比例恒如卯申之比例，道爲微撱，理亦略同。凡卷中或不言撱圜，即作平圜論也。令略取受攝動，發攝動二體，相距最遠、最近、適中三處，其攝動力與中體攝力之比例列爲表，中體力恒爲一，以表中諸數約之，得攝動力。設己距寅小於申距寅，如甲圖，則寅卯大於寅己，卯必居寅己引長之綫內，在己道面之上，而寅在己道面之下，故卯申力推己向寅道面內申寅綫中之天點。設已距寅等於申距寅則寅卯、寅申、寅己三綫俱等，且卯與己合，天與申合，故卯申力推己向中體。設己距寅大於申距寅，如乙圖，則寅卯小於寅己，卯必居寅己之間，與寅同在己道面之下，故卯申力推己向寅道餘半面內寅申引長綫中之天點甲圖爲近體受遠體之攝動，如地受木星攝，月受日攝是也。乙圖爲遠體受近體攝動，如火星受地球攝是也。凡攝動力之方向，恒在寅己申三體之面內，以此力當作獨力，則攷論諸行星之力互相加，心中不亂。又設以寅爲定點而己行於撱圜道繞申，則卯點亦必行成撱圜道。 攝力之方向，即卯申之方向，而卯申之方向因申寅、申己二半徑及己寅之距及己行之方向而變。僅以攝力爲獨力，則歷久所生星道之變不能瞭然，故當依重學理復論其分力，有數法：一分爲三力在天空有一定方向，相與俱成直角，推每力之數，其合力即獨力之數。論攝動之公理，此法最便，近代諸家俱用之，以攷攝動之深理。二亦分爲三力，相與俱成直角，而方向不一定，如圖中卯午、午醜、醜申三綫是也。醜申與帶徑申己同方向，名帶徑率，午醜正交醜申，而在己道面內，名橫率，卯午正交己道面，名垂率，此三率力，其方向相與皆正交，故不相憑藉，而加於己令生動差各不同。帶徑力或向中體或背中體，故不能變己道面之方位，亦不能變同時同面積之比例，僅能變撱圜各點之曲率及速率。蓋撱圜道視己申相距之遠近而異，此力向中體則令己申變近，此力背中體，則令己申變遠故也。而同時同面積之理，不關中體之攝力，凡帶徑上之力皆然。此力方向恒在帶徑上故不變，面積也橫力既正交帶徑力，則不能變己申距，又在己道面內，則不能變己道面之方位，而能變己之遲速，令同時同面積之例不合。蓋己繞申每刹那中所成面積，即己申綫所過之積，已行增速則面積亦增己行減速則面積亦減故也。垂力正交己道面，故不能變己申距，亦不能變己之遲速。但或拉己令近寅道面或推己令遠寅道面而令己道變方位也。此爲奈端以後諸曆家同用之法。三亦分爲三力，相與亦俱成直角，而方向時變不一定，前法帶徑率。今改用己點之法綫；前法橫率，今改用己點之切綫，名法切二力。設己道爲正圜或微撱，則此法與前法畧無異，若撱率甚大，則法切二方向，與帶徑率橫率之方向不同，帶徑之力令己申之距變遠近，橫力令己行變遲速。法力能變曲率，此力向內則曲率增，向外則曲率損。切力能變速率，此力順則速率增，逆則速率損。設欲知攝動力所變角度及距中體遠近，則第二法較顯明易推。設欲知攝動力所變撱圜道之根數，則第三法爲妙。而第二法垂率今不改垂力之用，呤己出於己道原面，而行于重曲綫，此重曲綫以申爲心而逐點之方向不同面。因此己道之根數恒變，令其面之方位刻刻移動。設空中有一定面，則己道面與定面之交綫，刻刻旋移也。今以前圖詳解之。設已體自丙行至己，無攝動力，則在巳點時其行必向己而有卯午平行之垂力加於已，則己必因之斜行。故不行于已已曲綫，而行于已午曲綫，甲圖已午綫在已已綫之下，乙圖在已已綫之上，是巳道面因垂力變其方位原面巳申已一分，變爲新面已申午一分也。引長已已爲已未切綫。遇寅道面於未點，作申未，即原面之交綫引長，己，午爲已未切綫。遇寅道面於，未點，作申未，即新面之交綫，故準甲圖，必令寅道面丙之交綫退後準乙圖必令寅道面內之交綫進前。法切二力於此事無涉。不能令已離原面，亦不能阻其離原面，僅能令切綫遇交綫之點稍移，令未申及未申之距或變近或變遠，而二交綫不動。再申論之，假如前圖寅在已原道面之上天，在寅申之間，則亦在原道面上，而卯必在原道面之下，則垂力卯午必向上。故推已向上，而已午曲綫必在已已曲綫之上。引長之遇寅道面未'點，必在未點之前，故若寅道面不動則交點必進前，即動而不消盡進前之理仍如故。 設以寅道面爲定面，而垂力拉已體令向寅道面則寅道上之交點必退後，若推已體令遠寅道面，則交點必進前。如圖，丙辛甲爲從申點平視寅道半周，丙庚甲爲未攝動時已道半周，已行自丙至甲，垂力拉已令行於己午。在丙庚甲丙辛甲之間引長已午成已未，爲已新道之一分。是二交點俱退行，一自丙至未，一自甲至未也。若垂力推已令行於已午，在丙庚甲之外，引長已午成已未，爲已新道之一分，是二次點俱進行，一自丙至未，一自甲至未'也。 前乙圖，已道大於寅道，設二道相距大於寅道半徑，又寅已二星同在交綫之一邊，則垂力必推已令遠。故無論已寅各在半周何點，寅道上交點必進前。若二星在交綫之兩邊，則垂力必拉已令近。亦無論已寅各在半周何點，寅道上交點必退後，故寅已繞申，無論各若干周。但二星在交綫一邊，交點必進行，在交綫兩邊交點必退行，若二道俱畧近正圜，則進退之時等。而每次退行必大於進行。取相對之二方向，以圖明之。二星在交綫一邊時，內星爲瞚在交綫兩邊時，內星爲瞚。其方向恰相對，引長己申作瞚寅、瞚寅二垂綫。星道略近正圜，則瞚申等於演申，故瞚寅等於瞚寅，準前瞚鉚與瞚申比，若瞚'申與瞚已之二平方比，又瞚柳與瞚申比，若瞚申與瞚已之二平方比，瞚申等於，瞚'申，而已，瞚大於已瞚，則瞚鉚必小於瞚柳，故已鉚與已瞚比，大於已柳與已瞚比，作柳卯，鉚卯爲己申之二垂綫，準相似三角形理，鉚卯與瞚寅比大於鉚卯與演寅比。故鉚卯大於柳卯攷已瞚瞚三點之公面與已道面之交綫爲已寅。故若從鉚柳作已道面二垂綫，其比例必若鉚卯與鉚卯比，是鉚點之垂綫，大於鉚點之垂綫。夫鉚申與柳申顯瞚瞚攝動已之二全力，則此二垂綫，必顯二垂力，鉚點垂力令交點退行鉚點垂力，令交點進行，二力有大小，故退行大於進行也。 設二道相距小於寅道半徑，無論已在何處，於交綫一邊取寅道丁戊二點，相距不滿一百二十度，令距已申俱等。設寅行全周已仍在原處不動則寅自丁至戊時交點亦退行，是退行愈多。若丁寅戊弧大半在交綫此邊如丁乙小半在交綫彼邊，如乙戊，則寅在丁乙分內，交點退行；在乙戊分內，交點進行而寅道距已最近點；在丁乙分內退行力最大，則丁乙分內之退行大於乙戊分內之進行。不能消盡。故寅在乙戊分內。計交點之度仍爲退行，是以總全周論之，視前條退行更大也。又設內星爲外星攝動寅道大於已道，取寅丁寅戊皆等於寅申，設已行一周，寅在原處不動，則已自丁至甲、自戊至丙，交點必退行；自丙至丁、自甲至戊，交點必進行。凡寅在交綫，則無垂力，交點不動。寅不在交綫則丁甲與戊丙和恒大於半周。寅愈近交綫申點之垂綫，則其和愈大，垂力亦愈大，交點之進退愈速。已愈近于丁或戊，垂力愈小，在此二點則無而交點不動。已在交點交點亦不動蓋垂力雖非消盡，方向亦不變，然此時交點退行變進行，則必留也。統論之，交點退行之時長，進行之時短，又退行之力更大，其行更速，故已每週其退行必多於進行也。此以平圜言之，若微撱理亦合。 今立公款，凡二道，此道交彼道之點退行於彼道上。設別有定面在原交角內，則二道交定面之點亦必退行於定面。在原交角外，則一道之交點退行於定面，一道之交點反進行於定面。如圖，巳巳寅寅爲二道原方位，已已寅寅爲二道各退行後新方位，已交點退行於寅道，自甲至五寅交點退行於已道，自甲至四丙丙定面在原交角內。則已交點退行於定面，自甲至一寅交點退行於定面。自甲至二已已定面在原交角外。則寅交點退行。自甲至六，已交點反進行，自甲至七若非其交於一點，依三面方位推之理同。 諸行星道交黃道點，俱退行於黃道，此以黃道爲本，而推諸行星之攝動，若於諸行星中另虛設一定面以爲本，則當並推黃道被諸星之攝動，而準上條，諸行星交定面之點或進行或退行，不一定也。 諸行星相距甚遠，質積又俱甚微，故其交點之行甚緩。大率百年中最速者不滿一度其遲者不滿半度，而月獨不然。約十八年六已退行一周，其故有二。一、太陽所發攝動力與地攝力之比，甚大於諸行星所發攝動力與太陽攝力之比。一因月之周時僅二十九日半，較諸行星之周時甚小也。準上條理，用垂力推其退行度分，與測望所得合。故知攝動之理確無可疑也。 各行星交點之移所關尚輕，而各星道交角之變所關甚大。以黃道言之，黃道交定面之角變，則黃道交赤道之角亦變，而各地之四時俱變。假如黃道與赤道合則統地球恒如春時設黃道過二極則冬夏二時寒暑極盛萬物不能生。故各星道交角之變爲最要事，今詳攷之。前諸圖中已申午面，爲受攝動體纔離已點後一刹那中所過之面。此面交寅道面或定面之角，與未攝動時之已申已面不同，而已申已已申午二面之交角，即已申未已申未二面之交角。既知此角亦知寅道面二交綫之角未申未，即可依弧三角法推其與寅道面之二交角，然則一刹那中交角之變，與交點之移，理相聯屬，欲攷此，亦必攷彼也。此一若已道爲鐵綫圈，已體爲一珠行其上，已道之方位變，已行之方向亦必變。然則已行之方向變，已道之方位亦必變，所以交角與交點必同變也。諸行星及我月之道相與成角俱甚小，故雖交角與交點同變，而交角之變較交點變甚小，蓋已申未未申未之交角，即二道之交角既甚小，則未已未角必甚小於未申未'角。若二道面之交角甚微幾近於合則，已已午角變雖甚微，未點移至未點，必甚大也。 準前説，一刹那中因攝動所成之微曲綫若在丙辛甲丙庚甲二道面之中間如巳午，交點必退行；若在丙庚甲面之外如已午，交點必進行。而交角之變大變小不與交點相應，微曲綫爲已午交角必變爲已未辛。微曲綫爲已午交角必變爲已未'辛，在丙庚象限內已未辛小於已丙辛，已未辛大於已丙辛，在庚甲象限內，已未辛大於已甲辛，已未辛小於已甲辛。故凡攝動力拉已向寅面已之本動亦漸近寅面，或攝動力推已遠寅面，已之本動亦漸遠寅面，則交角變大。凡攝動力拉已向寅面，已之本動卻漸遠寅面，或攝動力推已遠寅面。已之本動卻漸近寅面，則交角變小。約言之，已本動與攝動，其向寅面、背寅面同，則交角變大，異則交角變小。 角之變一刹那中甚微，積久則大。欲推其數，非積分術不能。今不言數，但依上條之理論其由小漸變大，復由大漸變小有一定未時分。一其道之面，擺動於中面之兩邊。設外行星爲內行星所攝動，內星道之半徑不及外星道半徑之半。如圖，甲丙甲爲從申望寅全道，在天空如一直綫，甲庚丙辛甲爲己道，設寅體在甲丙半周內。則已行第一象限，甲庚爲漸遠寅面，垂力亦令遠寅面，故交角變大；行第二象限，庚丙爲漸近寅面，垂力卻令遠寅面，故交角變小；行第三象限，丙辛爲漸遠寅面。垂力卻令近寅面，故交角變小，行第四象限，辛甲爲漸近寅面。垂力亦令近寅面，故交角變大。是已行一周，其道面擺動二次。若寅定於庚點不動，兩邊之攝力等，則已行一周，其道面必復至原處。若寅在他點，兩邊攝力不等，則已行一周，其角變大變小，不能適相補，但寅體在寅與在寅距庚相等，所生之變必恰相反。而二處所得中數一似寅體平分爲二，一在寅，一在寅所生之變，必適相補。以遍寅道各點所得中數推之，一似寅體勻分于全道成一圈，故在交綫左右所生各變，一一相對相補也。若外星爲內星攝動，而內星道之半徑，大於外星道半徑之半，又或內星爲外星所攝動，則已道內丁戊一段其變必與本象限相反。任設寅體在寅，乃取庚寅等於庚寅，又取丁戊與丁戊相似，則寅體在寅，，寅/巳在丁戊，丁戊其相關之理亦正相反，而恰相補仍同也。寅偕已及交綫相與之方位，莫不周徧，則其變盡相補足，而其道復如故。假如我月爲受攝動力之體已其週二十七日三二二，日爲發攝動力之體寅，其週三百六十五日二五六，交綫之週六千七百九十三，日三九一，其比例約如一十三二百四十九。故已行十三周，寅行一周。設無交綫動，則已與寅之方位必略如故。但此時交綫所行度分，已過二百四十九分，周天之十三，約如十九分之一，爲退行。故已與寅之原方位，差於交點前十九分周天之一，必更十九倍之，已行二百四十九周，寅行十九周，然後方位復如初。古曆所謂一章也。然數末尚有小分，去之不用，故其方位仍微不合。欲令此微不合亦消去，當用會數即章數之若干倍也。此設二體之道皆爲平圜則然。若皆爲撱圜，則統計諸方位，令交角增之力恒大於令交角損之力。設交點與長徑俱不動，則交角必有增無減。今不然者，一因交點有行分，過半周時，諸方位令交角增損之力相反；一因長徑亦以不平速行，則令交角增損之方位恒移易於道中故也。又交角因兩心差所生變亦有一定時，而兩心差甚小，所生變甚微，則所生交角差大小之限亦必甚微。幾何家言諸道相與之交角，令諸行星之力相定於空中，拉格浪細推其理，謂各行星之質積乘本道長徑之平方根，又以交定面角之正切平方乘之，所得諸數其和恒等。試以今黃道面爲定面，依法推得其和數，果恒等而甚小。然則諸大行星之道，永無大變，而諸行星互相補其差，此並小行星亦在內。 黃道面恒因諸行星之攝動力而變，令黃赤大距漸小，百年約四十八秒，測諸星之緯度或增或損而知之。準上條理，則其變小必有限，至限必復變大也。其最大最小在中數之左右各一度二十一分。 黃道面變方位，交定面之點必退行。此事與歲差雜糅難分。此當詳攷歲差之理以辨別之。歲差者黃赤交點恒退行於黃道面是也。此與諸行星道交點退行之理同亦生於攝動其攝動力非發於諸行星而發於日與月。蓋日較諸行星甚大，月較諸行星甚近，故此二體之攝力，同攝地球赤道上之凸積。地又自轉，而歲差生焉。今細論之，如甲圖外星寅攝內星已，假如已之質積平散于全道成一流質圈，寅之攝力加之，令繞申行於本面，則必生二事：一，道之面必變如浪紋形丁甲與戊丙，二段交寅面角必愈大；甲戊與丙丁二段，交角必愈小，一，交點必退行於寅道面。此二事各不相涉。若不爲流質圈而爲定質，成一堅圈，則圈中有若干分，欲令交角變大，有若干分，欲令交角變小，此必相消。每時刻依圈行，用其相消之餘成角之變，又圈中諸質點有若干分，欲交點順行，有若干分，欲交點退行，亦必相消。以其餘成進退行，夫赤道即定質圈也。發攝動力者，爲日爲月，俱不與赤道同面，則其交點必恒退行。蓋堅圈與質體周行於圈，理同也。此圈若不帶他物，交點之退行當甚速。今赤道圈與地球合爲一體，交點行之理，惟赤道及諸距等圈有之，與全地球無涉。諸圈體質之和即地殻較全地球甚小，則諸圈退行力，爲地球質阻力，所消甚多。故交點行速率變甚小，以日力言之，即歲差也。然赤道之交點，又因月攝退行于白道，夫白道既退行於黃道，交角略不變，故白極依交點行之速繞黃極。而赤道既退行於黃道，又退行于白道，則赤極依二退行，必行成次擺綫道。如圖，己爲黃極，甲乙丙丁爲白極所行之小圈，十九年一周，甲'丙'戊爲赤極所行之次擺綫，其時大於十九年。若僅有日攝力，赤道當行於甲戊虛綫；今又有月攝力，則赤極所行方向恒正交赤白二極距。如白極在甲，赤極行在甲，其方向正交甲甲；白極至乙，赤極行至乙其方向正交乙乙，白極自甲行一周餘至戊，赤極行成一次擺綫，甲丙戊其速率時大時小，每次皆然，是謂歲差。合尖錐動所生之行法，依此理攷諸力之率，即得歲差及尖錐動之數。與測望密合，日月所生二差之比，若二與五之比。既得此二差，則黃道交定面點因諸行星攝動退行之數亦得，與理所應得亦密合也。 此諸外攝動之全力成此變動，而不使赤黃二道之交角改變，或疑不合例，但觀前言，知不論發攝動力之體在何方向，其繞圈之各點不同，而使圈之交角有改變，必有相反之改變，以消故無不合例。 諸動外又有一動，名曰感動。先言其公理。凡諸體或以實質相聯，或以攝力相聯，中有一體以一定之周時旋行，必感動各體，令其各分生一定時之動，其周時俱與原動相應，而其最速最遲時不盡相應。各體有易感者，有不易感者，有一分易感一分不易感者，故其感動有時不覺，有時可推。有時較本動更易見，故地軸因日月旋行所感，又生二小尖錐動，其周時一爲半歲，一爲半月，感動中事之最大者爲潮汐，乃水之感動也。