《周髀算經》

昔者周公問於商高曰：竊聞乎大夫善數也。周公姓姬名旦，武王之弟。商高，周時賢大夫，善算者也。周公位居冡宰，德則至高尚，自卑巳以自牧.下學而上達，況其凡乎。 請問古者包犧立周天曆度。包犧，三皇之一.始畫八卦，以商高善數，能通乎微妙，達乎無方，無大不綜，無幽不顯，聞包犧立周天曆度，運章蔀之法。《易》曰：古者包犧氏之王天下也。仰則觀象於天，俯則觀法於地，此之謂也。 夫天不可階而升，地不可將尺寸而度。邈乎懸廣無階可升，蕩乎遐遠無度可量。 請問數安從出？心昧其機，請問其目。 商高曰：數之法出於圓方。圓徑一而週三，方徑一而匝四.伸圓之周而爲勾，展方之匝而爲股，共結一角，邪適弦五政。圓方邪徑相通之率，故曰數之法出於圓方。圓方者.天地之形，陰陽之數，然則周公之所問天地也。是以商高陳圓方之形，以見其象，因奇耦之數，以制其法，所謂言約旨遠微妙幽通矣。 圓出於方，方出於矩。圓䂓之數理之以方，方周匝也，方正之物出之以矩，矩廣長也。 矩出於九九八十一。推圓方之率，通廣長之數，當須乘除以計之，九九者乘除之原也。 故折矩。故者申事之辭也，將爲勾股之率，故曰折矩也。 以爲勾廣三，廣圓之周橫者，謂之廣勾，亦廣廣短也。 股修四，應方之匝從者，謂之修股亦修修長也。 徑隅五。自然相應之率，徑直隅角也.亦謂之弦。 既方之外，半其一矩。勾股之法，先知二數，然後推一，見勾股，然後求弦，先各自乘成其實.實成勢化，外乃變通，故曰既方其外.或並勾股之實，以求弦實之中.乃求勾股之分，並實不正等，更相取與，互有所得，故曰半其一矩。其術勾股，各自乘，三三如九四四一十六，並爲弦自乘之實，二十五減勾於弦，爲股之實一十六，減股於弦爲勾之實九。 環而共盤，得成三四五。盤讀如盤桓之盤.言取而並減之，積環屈而共盤之，謂開方除之其一面，故曰得成三四五也。 兩矩共長二十有五，是謂積矩。兩矩者，勾股各自乘之實，共長者，並實之數，將以施於萬事而此先陳其率也。 故禹之所以治天下者，此數之所生也。禹治洪水，決流江河.望山川之形，定高下之勢，除滔天之災，釋昏墊之厄.使東注於海，而無浸溺，乃勾股之所由生也。【略】即所求股四勾三也，鸞雲：以廣三減弦五，即所求差二者，此錯也。 周公曰：大哉言數。心達數術之意，故發大哉之數。 請問用矩之道。謂用表之宜，測望之法。 商高曰：平矩以正繩，以求繩之正，定平懸之體，將欲慎毫釐之差防千里之失。 偃矩以望高，覆矩以測深，臥矩以知遠。言施用無方曲，從其事術在九章。 環矩以爲圓，合矩以爲方。既以追尋情理，又可造製圓方，言矩之於物，無所不至。 方屬地，圓屬天，天圓地方。物有圓方，數有奇耦。天動爲圓，其數奇，地靜爲方，其數耦此配陰陽之義，非實天地之體也。天不可窮而見，地不可盡而觀，豈能定其圓方乎。又曰：北極之下高人所居六萬裡滂沲，四隤而下，天之中央，亦高四旁六萬裡，是爲形狀同歸，而不殊塗，隆高齊耽而易以陳，故曰天似蓋笠，地法覆槃。 方數爲典，以方出圓，夫體方則度影正，形圓則審實難。蓋方者有常，而圓者多變，故當制法而理之，理之法者，半周半徑相乘，則得方矣。又可周徑相乘四而一，又可徑自乘三之四而一，又可周自乘十二而一，故圓出於方。 笠以寫天。笠亦如蓋其形正圓，戴之所以象天寫猶象也。言笠之體象天之形。詩雲：何簑，何笠，此之義也。 天青黑，地黃赤，天數之爲笠也。青黑爲表，丹黃爲裏，以象天地之位。既象其形，又法其位，言相方類，不亦似乎。 是故知地者智，知天者聖。言天之高大，地之廣遠.自非聖智，其孰能與於此乎。 智出於勾，勾亦影也，察勾之損益，加物之高遠.故曰智出於勾。 勾出於矩，矩謂之表，表不移，亦爲勾，爲勾將正，故曰勾出於矩焉。 夫矩之於數，其裁制萬物，唯所爲耳。言包含幾微轉通，旋環也。 周公曰：善哉。善哉言明曉之意，所謂問一事而萬事達。 昔者榮方問於陳子，榮方、陳子，是周公之後人非周髀之本文。然此二人共相解釋，後之學者，謂之章句，因從其類，列於事下，又欲尊而遠之故，雲昔者時世，官號未之前聞。 曰：今者竊聞夫子之道，榮方問陳子，能述商高之旨，明周公之道。 知日之高大日去地與圓徑之術。 光之所照，日旁照之所及也。 一日所行日行天之度也。 遠近之數。冬至、夏至，去人之遠近也。 人所望見人目之所極也。 四極之窮，日光之所遠也。 列星之宿，二十八宿之度也。 天地之廣袤，袤，長也，東西南北，謂之廣長。 夫子之道皆能知之。其信有之乎？而明察之，故不昧不疑。 陳子曰：然。言可知也。 榮方曰：方雖不省，願夫子幸而説之。欲以不省之情，而觀大雅之法。 今若方者，可教此道邪？不能自料訪之賢者。 陳子曰：然。言可教也。 此皆算術之所及。言周髀之法，出於算術之妙也。 子之於算，足以知此矣。若誠累思之。累重也，言若誠能重累思之，則達至微之理。 於是榮方歸而思之，數日不能得。雖濳心馳思，而才單智竭。 復見陳子曰：方思之不能得，敢請問之。陳子曰：思之未熟。熟，猶善也。 此亦望遠起高之術，而子不能得，則子之於數未能通類。定高遠者，立兩表，望懸邈者，施累矩，言未能通類，求勾股之意。 是智有所不及，而神有所窮。言不能通類，是情智有所不及，而神思有所窮滯。 夫道術言約而用博者，智類之明。夫道術，聖人之所以極深，而研幾唯深也，故能通天下之志，唯幾也，故能成天下之務。是以其言約其旨遠，故曰智類之明也。 問一類而萬事達者，謂之知道。引而伸之，觸類而長之，天下之能，事畢矣，故謂之知道也。 今子所學。欲知天地之數。 算數之術，是用智矣，而尚有所難，是子之智類單。算術所包，尚以爲難，是子智類單盡。 夫道術，所以難通者，既學矣，患其不博。不能廣博。 既博矣，患其不習。不能究習。 既習矣，患其不能知。不能知類。 故同術相學，術教同者，則當學通類之意。 同事相觀，事類同者，觀其旨趣之類。 此列士之愚智，列猶別也，言視其術，鑒其學，則愚智者別矣。 賢不肖之所分。賢者，達於事物之理，不肖者，闇於照察之情。至於役神、馳思、聰明殊別矣。 是故能類以合類，此賢者業精習智之質也。學其倫類，觀其指歸，唯賢智精習者能之也。 夫學同業，而不能入神者，此不肖無智，而業不能精習。俱學道術明不察，不能以類合類，而長之此。心遊目蕩，義不入神也。 是故算不能精習，吾豈以道隱子哉，固復熟思之。凡教之道，不憤不啓，不悱不發，憤而悱之，然後啓發。既不精思，又不學習，故言吾無隱也。爾固復熟思之，舉一隅使及之以三也。 榮方復歸思之數日，不能得，復見陳子曰：方思之以精熟矣，智有所不及，而神有所窮，知不能得，願終請説之。自知不敏，避席而請説之。 陳子曰：復坐，吾語汝。於是榮方復坐而請。陳子説之曰：夏至南萬六千里冬至南十三萬五千里。日中立竿測影。臣鸞曰：南戴日下立八尺表表彰千里而差一寸，是則天上一寸，地下千里，今夏至影有一尺六寸，故其萬六千里，冬至影一丈三尺五寸，則知其十三萬五千里。 此一者，天道之數。言天道數一悉以如此。 周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。晷影也，此數望之，從周城之南千里也，而周官測影尺有六寸，蓋出周城南千里也。記雲：神州之土，方五千里，雖差一寸，不出畿地之分，先王知之實，故建王國。 髀者，股也。正晷者，勾也。以髀爲股，以影爲勾，股定然後可以度日之高遠。正晷者，日中之時節也。 正南千里，勾一尺五寸。正北千里，勾一尺七寸。候其影，使表相去二千里，影差二寸，將求日之高遠，故先見其表影之率。 日益表南，晷日益長。候勾六尺，候其影，使長六尺者，欲令勾股相應，勾三股四弦五，勾六股八弦十。 即取竹空徑一寸長八尺，捕影而視之，空正掩日，以徑寸之空，視日之影，髀長則大，矩短則小。正滿八尺也。捕猶索也，掩猶覆也。 而日應空之孔。掩若重規，更言八尺者，舉其定也，又曰近則大，遠則小，以影六尺爲正。 由此觀之，率八十寸而得徑一寸。以此爲日髀之率。 故以勾爲首，以髀爲股。首猶始也，股猶末也，勾能制物之率，股能制勾之正，欲以爲緫見之數立精理之本，明可以周萬事，智可以達無方，所謂智出於勾，勾出於矩也。 從髀至日下六萬裡，而髀無影，從此以上至日則八萬裡。之爲六十寸，以兩表相去二千里，乘得十二萬裡爲實，以影差二寸爲法，除之得日底地去表六萬裡，求從髀至日八萬裡者，先置表高八尺，上十之爲八十寸，以兩表相去二千里，乘之得十六萬爲實，以影差二寸爲法，除之得從表端上至日八萬裡也。 若求邪至日者，以日下爲勾，日高爲股，勾股各自乘並，而開方除之，得邪至日。從髀所旁至日所十萬裡。旁，此古邪字求其數之術。曰：以表南至日下六萬裡爲勾，以日高八萬裡爲股，爲之求弦，勾股各自乘。並，而開方除之，即邪至日之所也。臣鸞曰：求從髀邪至日所法，先置南至日底六萬裡爲勾，重張自乘得三十六億爲勾實，更置日高八萬裡爲股，重張自乘得六十四億爲股實，並勾股實得一百億爲實，如法而一，即得日徑。 故曰：日晷徑千二百五十裡。臣鸞曰：求以率八十裡得徑一裡，十萬裡得徑千二百五十裡。法先置竹孔徑一寸爲十裡爲勾，更置邪去日十萬裡爲股，以勾十裡乘股十萬裡，得一億爲實，更置日去地八萬裡爲法，除實得日晷徑千二百五十裡，故雲日晷徑也。【略】 法曰：周髀長八尺，勾之損益寸千里。勾謂影也，言懸天之影，薄地之儀，皆千里而差一寸。 故曰：極者，天廣袤也。言極之遠近有定，則天廣長可知。 今立表高八尺以望極，其勾一丈三寸。由此觀之，則從周北十萬三千里而至極下。謂冬至日加卯酉之時，若春秋分之夜半，極南兩旁與天中齊，故以爲周去天中之數。 榮方曰：周髀者何？陳子曰：古時天子治周，古時天子，謂周成王時，以治周居王城，故曰昔先王之經邑，奄觀九隩，靡地不營，土圭測影，不縮不盈，當風雨之所交，然後可以建王城，此之謂也。 此數望之從周，故曰周髀。言周都河南爲四方之中，故以爲望主也。 髀者，表也。用其行事，故曰髀。由此捕望，故曰表。影爲勾，故曰勾股也。 日夏至南萬六千里，日冬至南十三萬五千里，日中無影。以此觀之，從南至夏至之日中，十一萬九千里。諸言極者，斥天之中，極去周十萬三千里，亦謂極與天中齊，時更加南萬六千里是也。 北至其夜半亦然。日極在極北，正等也。 凡徑二十三萬八千里。並南北之數也。 此夏至日道之徑也。其徑者，圓中之直者也。 其周七十一萬四千里。周匝也，謂天戴日行，其數以三乘徑。臣鸞曰：求夏至日道徑法，列夏至日去天中心十一萬九千里，夏至夜一日亦去天中心十一萬九千里，並之得夏至日道徑二十三萬八千里，三乘徑得周七十一萬四千里也。 從夏至之日中至冬至之日中，十一萬九千里。冬至日中去周十三萬五千里，除夏至日中去週一萬六千里是也。 北至極下亦然，則從極南至冬至之日中二十三萬八千里，從極北至其夜半亦然，凡徑四十七萬六千里。此冬至日道徑也，其周百四十二萬八千里。從春秋分之日中北至極下十七萬八千五百里。【略】 從極下北至其夜半亦然，凡徑三十五萬七千里，週一百七萬一千里。故日月之道常，緣宿日道亦與宿正。內衡之南，外衡之北，圓而成規，以爲黃道。二十八宿列焉，日之行也，一出一入，或表或裏，五月二十三分，月之二十一道，一交謂之合朔，交會及月蝕，相去之數，故曰緣宿也。日行黃道，以宿爲正，故曰宿正。於中衡之數，與黃道等。【略】 南至夏至之日中，北至冬至之夜半，南至冬至之日中，北至夏至之夜半，亦徑三十五萬七千里，週一百七萬一千里。此皆黃道之數，與中衡等。 春分之日夜分，以至秋分之日夜分，極下常有日光。春秋分者，晝夜等，春分至秋分，日內近極，故日光照及也。 秋分之日夜分，以至春分之日夜分，極下常無日光。秋分至春分，日外遠極，故日光照不及也。 故春秋分之日夜分之時，日所照適至極，陰陽之分等也。冬至夏至者，日道發歛之所生也，至晝夜長短之所極。發猶往也，歛猶還也，極終也。 春秋分者，陰陽之修，晝夜之象。修長也，言陰陽長短之等。