《疇人傳》

宋四 楊忠輔 楊忠輔，字德之。官成忠郎。紹熙四年，布衣王孝禮言：「今年十一月冬至日景長，當在十九日壬午，會元曆注乃在二十日癸未，係差一日。崇天曆癸未日冬至加時在酉初七十六分紀元曆在醜初一刻六十七分，統元曆在醜初二刻二分，會元曆在醜初一刻三百四十分。迨今八十有七年，當在醜初一刻，不減而反增。崇天曆實天聖二年造，紀元曆崇寧五年造，計八十二年。是時測景驗氣，知冬至後天，乃減六十七刻半，方與天道協，其後陳得一造統元曆，劉孝榮造乾道、淳熙、會元三曆，未嘗測景。苟弗立表測景，莫識其差。乞遣官令太史局以銅表同孝禮測驗。」朝廷雖從之，未暇改作。 慶元四年，會元曆占候多差，日官草澤，互有異同。詔禮部侍郎胡紘充提領官正字馮履充參定官監忠輔造新曆。右諫議大夫兼侍講姚愈言「太史局文籍散逸，測驗之器又復不備，幾何而不疏略哉？漢元鳳間，言曆者十有一家，議久不決，考之經籍，驗之帝王録，然後是非洞見。元和間，乙太初違天益遠，晦朔失實，使治曆者修之，以無文證驗，雜議蠭起，越三年始定。此無他，不得儒者以總其綱，故至於此也。《周官》馮相氏、保章氏志日月星辰之運動，塚宰實總之。漢初，曆官猶宰屬也。熙寧間，司馬光、沈括皆嘗提舉司天監故當是時曆數明審，法度嚴密。乞命儒臣常兼提舉，以專其責。」 五年，監察禦史張巖論馮履唱爲詖辭，罷去。詔通曆算者所在具名來上。及忠輔曆成，宰臣京鏜上進賜名統天，頒之。凡《曆經》三卷、《八曆冬至考》一卷、《三曆交食考》三卷、《晷景考》一卷、《考古今交食細草》八卷、《盈縮分損益率立成》二卷、《日出入晨昏分立成》一卷、《嶽臺日出入晝夜刻》一卷、《赤道內外去極度》一卷、《臨安午中晷常數》一卷、《禁漏街鼓更點辰刻》一卷、《禁漏五更攢點昏曉中星》一卷、《將來一年氣朔》二卷、《己未庚申二年細行》二卷，總三十二卷。其法上元甲子歲距紹熙五年甲寅，歲積三千八百三十，至慶元己未，歲積三千八百三十五，策法萬二千，歲分四百三十八萬二千九百一十，朔實三十五萬四千三百六十八，氣差二十三萬七千八百一十一，閏差二萬一千七百四，鬥分差一百二十七。《宋史.律曆志》、鮑澣之《九章算術.後序》。 論曰：唐宋諸家，皆用積年日法。郭邢臺授時獨刊而去之，當時號爲最密。而以統天之法較之，乃往往相合。授時截用辛巳爲元，統天則上考下求，並以距甲寅立算，是亦用截元也。授時歲實三百六十五萬二千四百二十五，統天歲分以策法除之，亦得三百六十五日二千四百二十五分，是歲實與授時同，亦可以萬分爲日法也。統天之氣閏諸差，即授時之諸應；統天之鬥分差，即授時之百年消長一分，知授時即寫統天術，而統天亦不用積年日法矣。顧猶婉而出之，仍虛立上元策法之數者蓋積習相沿不欲驟更以駭俗耳。鮑澣之譏其無復強弱之法，虛廢方程之舊，澣之所執，固何承天以來相傳之師法。而忠輔創立新率，獨有心得又何可以成法限之乎？梅徵君文鼎謂宋術莫善於紀元尤莫善於統天，諒哉！ 鮑澣之 鮑澣之，字仲祺，處州人也。官大理評事。慶元五年七月辛卯朔，統天曆推日食，雲陰不見。六年六月乙酉朔，推日食不驗。嘉泰二年五月甲辰朔，日有食之。詔太史與草澤聚驗於朝，太陽午初一刻起虧，未初刻復滿。統天曆先天一辰有半，乃罷楊忠輔，詔草澤通曉曆者應聘修治。 開禧三年，澣之言：「曆者，天地之大紀，聖人所以觀象明時，倚數立法，以前民用而詔方來者。自黃帝以來至於秦漢，六曆具存其法簡易同出一術。既久而與天道不相符合。於是太初、三統之法，相繼改作而推步之術愈見闊疎。是以劉洪、祖沖之之減破鬥分，追求月道，而推測之法，始加詳焉。至於李淳風、一行而後總氣朔而合法，效乾坤而擬數演算之法始加備焉。故後世之論曆，轉爲精密，非過于古人也，蓋積習考驗而得之者審也。試以近法言之：自唐麟德、開元，而至於五代所作者，國初應天，而至於紹熙、會元，所更者十二書，無非推求上元開闢爲演紀之首，氣朔同元，而七政會于初度。從此推步以爲曆本，未嘗敢輒爲截法，而立加減數於其間也。獨石晉天福間，馬重績更造調元曆，不復推古上元甲子七曜之會，施於當時，五年輒差，遂不可用識者咎之。今朝廷自慶元三年以來，測驗氣景，見舊曆後天十一刻，改造新曆賜名「統天」。進曆未幾，而推測日食已不驗，此猶可也。但其曆書演紀之始，起于唐堯二百餘年，非開闢之端也。氣朔五星，皆立虛加、虛減之數，氣朔積分，乃有泛積、定積之繁。以外算而加朔餘，以距算而減轉率，無復強弱之法，虛廢方程之舊。其餘差漏，不可備言。以是而爲術，乃民間之小曆，而非朝廷頒正朔、授民時之書也。漢人以謂曆元不正，故資賊相續，言雖迂誕，然而曆紀不治，實國家之重事。願詔有司選演譔之官，募通曆之士，置局討論，更造新術，庶幾並智合議，調治日法，追迎天道，可以行遠。」澣之又言：「當楊忠輔演造統天曆之時，每與議論曆事。今見統天曆舛，近亦私成新曆。誠改新曆，容臣投進，與太史、草澤諸人所著之曆參考。」七月澣之又言：「統天曆來年閏差願以諸人所進曆，令秘書省參考頒用。」 秘書監兼國史院編修官、實録院檢討官曾漸言：「改曆，重事也。昔之主其事者無非道術精微之人如太史公、落下閎、劉歆、張衡、杜預、劉焯、李淳風、一行、王樸等，然猶久之不能無差。其餘不過遞相祖述，依約乘除，捨短取長，移疎就密而已，非有卓然特達之見也。一時偶中，即復舛戾。本朝敝在數改曆法。統天曆頒用之初，即已測日食不驗，因仍至今，置閏遂差一月，其爲當改無疑。然朝廷以一代钜典，責之專司，必其人確然著論，破諸説之非，服衆多之口，庶幾可見。按乾道、淳熙、慶元凡三改曆，皆出劉孝榮一人之手，其後遂爲楊忠輔所勝。久之忠輔曆亦不驗故孝榮安職至今。紹熙以來王孝禮者數以自陳，每預測驗或中或不中李孝節、陳伯祥本皆忠輔之徒，趙達，蔔筮之流；石如愚獻其父書，不就測驗晷景，止定月食分數，其術最疎；陳光則並交食不論，愈無憑依。此數人者，未知孰爲可付故鮑澣之屢以爲請。今若降旨開局不過收聚此數人者，和會其説，使之無爭。來年閏差，其事至重。今年八月，便當頒曆外國，而三數月之間，悉遽成書，結局推賞，討論未盡，必生詆訾。今劉孝榮、王孝禮、李孝節、陳伯祥所擬改曆，及澣之所進曆，皆已成書，願以衆曆參考，擇其與天道最近且密者頒用，庶幾來年置閏不差。請如先朝故事，搜訪天下精通曆書之人，用沈括所議，以渾儀、浮漏、圭表測驗，每日記録，積三五年，前後參較，庶幾可傳永久。」漸又言：「慶元三年以後，氣景比舊曆有差，至四年改造新曆未成，時當頒五年曆，乃差官以測算晷景、氣朔加時辰刻成會元曆頒賜。今若頒來年氣朔既有去年十月以後、今年正月以前所測晷景，已見天道冬至加時分數，來年置閏，比之統天曆亦已不同，兼諸所進曆，並可參考。請速下本省，集判局官於本省參考，使澣之覆考，以最近之曆推算氣朔頒用。」於是詔漸充提領官，澣之充參定官，草澤精算造者、嘗獻曆者，與造統天曆者，皆延之，於是開禧新曆議論始定。詔以戊辰年權附統天曆頒之。既而婺州布衣阮泰發獻《渾儀十論》，且言統天、開禧曆皆差。朝廷令造木渾儀，賜文解罷遣之。 嘉定三年，鄒淮言曆書差忒，當改造試。太子詹事兼同修國史、實録院同修譔兼秘書監戴溪等言請詢漸、澣之造曆故事。詔溪充提領官澣之充參定官鄒淮演譔，王孝禮、劉孝榮提督推算官生十有四人，日法用三萬五千四百。四年春曆成，未及頒行，溪等去國，曆亦隨寢。韓侂胄當國，或謂非所急，無復敢言曆差者，於是開禧曆附統天曆行於世四十五年。其法上元甲子至開禧三年丁卯，歲積七百八十四萬八千一百八十三，日法一萬六千九百，歲率六百一十七萬二千六百八朔率四十九萬九千六十七。《宋史.律曆志》、《九章算術.後序》。 論曰：《宋史》所載開禧術甚略，上元冬至宿度亦所不詳。中興《天文志》曰：「開禧占測冬至已在箕宿，然則上元冬至，當在虛五度矣。漢時冬至日在鬥末，漸退而至鬥初箕末。又自箕末漸退至今，而日在箕初，此歲差之實據也。」 李德卿 李德卿，淳祐十年造淳祐術。其法上元甲子至淳祐十年庚戌，積一億二千二十六萬七千六百四十六，日法三千五百三十。自開禧術行用之後，嘉泰元年，中奉大夫、守秘書監俞豐等請改造新曆。監察禦史施康年劾太史局官吳澤、荊大聲、周端友循默屍祿，言災異不及時，詔各降一官。臣僚言：「頒正朔，所以前民用也。比曆書一日之間，吉凶並出，異端並用，如土鬼、暗金元之類，則添注於凶神之上猶可也而其首則揭九良之名，其末則出九曜吉凶之法、勘昏行嫁之法至於《周公出行》《一百二十歲宮宿圖》凡閭閻鄙俚之説無所不有是豈正風俗、示四夷之道哉！願削不經之論。」從之。二年五月朔，日食，太史以爲午正，草澤趙大猷言午初三刻半日食三分。詔著作郎張嗣古監視測驗大猷言然曆官乃抵罪。嘉定四年，秘書省著作郎兼權尚左郎丁端祖請考試司天生。十三年，監察禦史羅相言：「太史局推測七月朔太陽交食，至是不食。願令與草澤新曆精加討論。」於是澤等各降一官。淳祐四年，兼崇政殿説書韓祥請召山林布衣造新曆。從之。五年，降算造成永祥一官，以元算日食未初三刻，今未正四刻，元算虧八分，今止六分故也。八年，朝奉大夫、太府少卿兼尚書左司郎中兼勅令所刪修官尹渙言：「曆者，所以統天地侔造化，自昔皆擇聖智典司其事。後世急其所當緩緩其所當急以爲利吾國者惟錢穀之務。固吾圉者，惟甲兵是圖。至於天文曆數，一切付之太史局，荒疎乖謬，安心爲欺，朝士大夫莫有能詰之者。請召四方之通曆算者至都使曆官學焉。」至是德卿新術成。十一年殿中侍御史陳垓言：「曆者，天地之大紀，國家之重事。今淳祐十年冬所頒十一年曆，稱成永祥等依開禧新曆推算，辛亥歲十二月十七日立春在酉正一刻。今所頒曆乃相師堯等依淳祐新曆推算，到壬子歲立春日在申正三刻。質諸前曆，乃差六刻以此頒行天下，豈不貽笑四方！且許時演譔新曆，將以革舊曆之失。又考驗所食分數，開禧舊曆僅差三刻，而李德卿新曆差六刻二分有奇，與今頒行前後兩曆所載立春氣候分數亦差六刻則同。由此觀之，舊曆差少，未可遽廢；新曆差多，未可輕用。一旦廢舊曆而用新曆不知何所憑據。請參考推算頒行。」《宋史.律曆志》、《元史.曆志》。 論曰：淳祐術數殘闕，李尚之鋭曰：「以演譔之法推之，當以一百二十八萬九千三百七爲歲實一十萬四千二百四十三爲朔實也。」 譚玉 譚玉，淳祐十二年造新術。其法上元甲子至淳祐十二年壬子，積一千一百三十五萬六千一百二十八，日法九千七百四十。秘書省言：「太府寺丞張湜同李德卿算造曆書與譚玉續進曆書頗有抵牾。省官參訂兩曆得失疏密以聞。其一曰：玉訟德卿用崇天曆，日法三約用之者崇天曆用一萬五百九十爲日法德卿用三千五百三十爲日法，玉之言然。其二曰：玉訟積年一億二千二十六萬七千六百四十六，不合曆法。今考之德卿用積年一億以上。其三曰：玉訟壬子年六月，癸醜年二月、六月、九月，丙辰七月，置閏皆差一日。今秘書省檢閲林光世用二家曆法各爲推算。其四曰：德卿曆與玉曆壬子年立春、立夏以下十五節氣時刻皆同，雨水、驚蟄以下九節氣各差一刻。其五曰德卿推壬子年二月乙卯朔日食帶出已退所見大分八；玉推日食帶出已退所見大分七，辰當壁宿六度同。其六曰：德卿曆鬥分作三百六十五日二十四分二十八秒，玉曆鬥分作三百六十五日二十四分二十九秒，二曆鬥分僅差一秒。惟二十八秒之法，起于齊祖沖之，而德卿用之，使沖之之法可久，何以歷代增之？玉既指其謬，又多一秒，豈能必其天道合哉請得商確推算合衆長而爲一然後賜名頒行。」是年曆成賜名「會天」，寶祐元年行之。《宋史.律曆志》、《元史.曆志》。 論曰：會天術數殘闕。李尚之鋭曰：「以演譔之法推之，當以三百五十五萬七千四百六十六爲歲實，二十八萬七千六百二十八爲朔實也。」又曰：「《玉海》載尤焴譔序曰『積年止用一千一百餘萬，日法止用五百五十八。』此日法與《元史》授時議不合。案日法五百五十八則朔餘當二百九十六朔餘太弱不得爲日法，蓋《玉海》有脫誤也。」 陳鼎 臧元震 陳鼎，鹹淳六年造新術。先是，會天術推鹹淳六年十一月三十日冬至至後爲閏十一月。既已頒曆，浙西安撫司準備差遣臧元震言：「曆法以章法爲重，章法以章歲爲重。蓋曆數起於冬至，卦起於中孚，十九年謂之一章，一章必置七閏，必第七閏在冬至之前，必章歲至、朔同日。故《前漢志》雲：『朔旦冬至，是謂章月。』《後漢志》雲：『至、朔同日，謂之章。』『積分成閏，閏七而盡，其歲十九，名之曰章。』《唐志》曰：『天數終於九，地數終於十，合二終以紀閏餘。』章法之不可廢也若此。今所頒庚午歲曆，乃以前十一月三十日爲冬至，又以冬至後爲閏十一月，莫知其故。蓋庚午之閏，與每歲閏月不同；庚午之冬至，與每歲之冬至又不同。蓋自淳祐壬子數至鹹淳庚午，凡十九年，是爲章歲，其十一月是爲章月。以十九年七閏推之，則閏月當在冬至之前，不當在冬至之後。以至、朔同日論之，則冬至當在十一月初一日，不當在三十日。今以冬至在前十一月三十日，則是章歲至、朔不同日矣。若以閏月在冬至後，則是十九年之內正有六閏，又欠一閏。且一章計六千八百四十日，於內加七閏月，除小盡，積日六千九百四十日，或六千九百三十九日，約止有一日。今自淳祐十一年辛亥章歲十一月初一日章月冬至後起算，十九年至鹹淳六年庚午章歲十一月初一日當爲冬至，方管六千八百四十日。今算造官以閏月在十一月三十日冬至之後，則此一章止有六閏，更加六閏除小盡外，實積止六千九百十二日，比之前後章歲之數，實欠二十八日。曆法之差，莫甚於此。況天正冬至乃曆之始，必自冬至後積三年餘分，而後可以置第一閏。今庚午年章歲丙寅日申初三刻冬至，去第二日丁卯，僅有四分日之一，且未正日，安得遽有餘分？未有餘分，安得遽有閏月？則是後一章之始不可推算，其謬可知矣。今欲改之，有簡而易行之説。蓋曆法有平朔，有經朔，有定朔。一大一小，此平朔也；兩大兩小，此經朔也；三大三小，此定朔也。今正以定朔之説，則當以前十一月大爲閏十月小，以閏十一月小爲十一月大，則丙寅日冬至節，可爲十一月初一日，以閏十一月一之丁卯，爲十一月初二日，庶幾遞趲下一日置閏，十一月二十九日丁未，始爲大盡。然則冬至既在十一月初一，則至、朔同日矣；閏月既在至節前，則十九年七閏矣。此昔人所謂晦節無定，由時消息，上合履端之始，下得歸餘於終，正謂此也。夫曆久未有不差，差則未有不改者。後漢元和初曆差，亦是十九年不得七閏，曆雖已頒亦改正之。顧今何靳於改之哉！元震謂某儒者，豈欲與曆官較勝負？既知其失，安得默而不言邪！」於是朝廷下之有司，遣官偕元震與太史局辨正，而太史之詞窮，元震轉一官，判太史局鄧宗文、譚玉等各降官有差。鼎因更造新術，是年術成，詔試禮部尚書馮夢得序之，七年頒行，即成天曆也。其法上元甲子距鹹淳七年辛未，歲積七千一百七十五萬八千一百四十七，日法七千四百二十，歲率二百七十一萬一百一，朔率二十一萬九千一百一十七。德祐之後，陸秀夫等擁立益王，走海上，命禮部侍郎鄧光薦與蜀人楊某等作曆，賜名本天曆，今亡。《宋史.律曆志》、《元史.曆志》。 論曰：錢少詹大昕曰：「十九年七閏之率，乃祖沖之、李淳風輩所擯棄不屑道者。元震乃復欲采而用之，是真妄人也已。鼎造成天術，亦不能從其説也。」 秦九韶 秦九韶，字道古，秦鳳間人也，寓居湖州。少爲縣尉，淳祐四年，以通直郎通判建康府，寶祐間爲沿江制置司參議官。或以術學薦於朝，得對後，知瓊州，又知梅州，卒于梅。著《數學九章》九卷。一曰「大衍」。其術以元問數連環求等，約爲定母。先以諸定相乘爲衍母，互乘爲衍數；又以定母去衍數，餘爲奇數；以大衍求一術入之得乘率以乘衍數爲用數各與元問餘數相乘，並之爲總數。滿衍母去之，不滿爲所求數。其大衍求一術，則置奇於右上，定於右下，立天元一于左上，先以右上除右下，所得商數與左上一相生，入左下。然後乃以右行上下以少除多，遞互除之。所得商數，隨即遞互累乘，歸左行上下，須使右上末後奇一而止，乃驗左上所得，以爲乘率。凡九題，皆以此術禦之。二曰「天時」亦大衍及古少廣法也。其推氣、推閏、演紀、推星、揆日諸術，皆當時司天舊法，演紀一條，尤爲獨得。其説謂今人相乘演積年，其術如調日法，求朔餘、朔率，立鬥分、歲餘，求氣骨、朔骨、閏骨，乃衍等數、約率、因率、蔀率。求入元歲、歲閏、入閏、元率、元閏，已上皆同此術。但其所以求朔積年之術，乃以閏骨減入閏餘，謂之閏贏。卻與閏縮朔率列號甲、乙、丙、丁四位，除乘消減，謂之方程。乃求得元數以乘元率所得謂之積年加入元歲共爲演紀歲積年。所謂方程正是大衍術非特置算繁多，初無定法可傳，甚是惑誤。後學易失古人之術意，故今術不言閏贏，而曰入閏差者蓋本將來可用入元歲便爲積年之意。故今止將元閏、朔率二項，以大衍先求等數、因數、蔀數者，乃放前求入元歲之術理。假閏骨如氣骨，以等數爲約數及求乘數、蔀數，以等約閏縮得因乘數滿蔀去之不滿在限下以乘元率，便爲朔積年，亦加入元歲，共爲演紀積年。此術非惟止用乘除省便，又且于自然中取見積年，不惑不差矣。新術敢不用閏贏而求者，實知閏贏已存乎入閏之中。但求朔積年之奇分與閏縮等，則自與入閏相合，必滿朔率所去故也。數理精微，不易窺識，窮年致志，感於夢寐，幸而得知，謹不敢隱。三曰「田域」，古少廣及方田句股法也。其環田三積術，以徑㫒進一位爲周㫒，其率爲徑一百，週三百一十六，奇與古率徽率密率不同。四曰「測望」，古少廣重差夕桀法也。其遙度圓城術，以開九乘方得數，運算尤爲繁賾。五曰「賦役」，古衰分粟米互易法也。復邑修賦術，答數至一百七十五條，爲自來算書所未有。六曰「錢穀」，古方田均輸粟米換易法也。七曰「營建」，古商功均輸法也。八曰「軍旅」，古少廣商功均輸及盈朏法也。九曰「市易」，古盈朏方程法也。諸術所載開方圖，於正負加減益積翻法，説之尤詳。凡開平開立及開三乘以上方通一爲道，有投胎換骨、玲瓏連枝諸目。 其自序略曰：「漢去古未遠，有張倉、許商、馬延年、耿壽昌、鄭玄、張衡、劉法之倫，或明天道而洪傳於後，或計功策而效驗於時。後世學者自高，鄙不之講，此學殆絶。惟治術疇人，能爲乘除而弗通于開方衍變。若官府會事則府史一二絫之，算家位置，素所不識，持算者惟若人，則鄙之也宜矣。今數術之書，尚三十餘家，天象曆度謂之綴術；《九章》所載繫於方圓者，爲專術。其用相通，不可歧二。獨大衍法不載《九章》未有能推之者術家演法頗用之以爲方程者誤也。九韶愚昧，不閑於蓺，然早歲侍親中都，因得訪習于太史：又嘗從隱君子受數學，肆意其間，旁諏方能，探索查眇，粗若有得焉。嘗設爲問答以擬其用，積多而惜其棄因取八十一題，釐爲九類，立術具草，間以圖發之，恐或可備多識君子之餘觀曲蓺可遂也。願進之於道，儻曰蓺成而下，是惟疇人府史流也。烏足盡天下之用，亦無瞢焉。」《癸辛雜識》、《數學九章》、《景定建康志》、《李梅亭集》。 論曰：自元郭守敬授時術截用當時爲元，迄今五百年來，疇官術士，無復有知演紀之法者。獨《數學九章》猶存其術，耆古之士，得以考見古人推演積年日法之故，蓋猶告朔之犧羊矣。明顧應祥《測圜海鏡》分類釋術，詳衍開方諸法，然加減混淆，學者昧其原本。讀九韶書而後知昔人開方除法固有一以貫之者留情九數之士，所宜孰復而研究之也。 楊輝 楊輝，著《續古摘奇演算法言》、《古今算書》。元豐七年，刊入秘書省。又刻於汀州學校者十書，曰《黃帝九章》、《周髀算經》、《五經演算法》、《海島算經》、《孫子演算法》、《張邱建演算法》、《五曹演算法》、《緝古演算法》、《夏侯演算法》、《算術記遺》。元豐、紹興、淳熙以來刊刻者，有《議古根厚》、《益古演算法》、《證古演算法》、《明古演算法》、《辨古演算法》、《明源演算法》、《金科演算法》、《指南演算法》、《應用演算法》、《曹唐演算法》、《賈憲九章》、《通微集》、《通機集》、《盤珠集》、《走盤集》、《三元化零歌》、《鈐經》、《鈐釋》十八種。嘉定、鹹淳、德祐等年所刊，又有《詳解黃帝九章》、《詳解日用演算法》、《乘除通變本末》及《摘奇》四種。《演算法統宗》。 論曰：輝所稱算書，十書而外，今無一存者。李冶《益古演段序》謂近代有某以方圓移補成編，號《益古集》，當即輝所謂《益古演算法》也。《測圜海鏡》有《鈐經》載此法以弦差率㫒減丙行差㫒，復以丙行乘之爲實以差率㫒爲法之語蓋敬齋時諸書皆尚存也。