《疇人傳》

元三 李謙上 李謙，字受益。鄆之東阿人也。爲東平府教授累官萬戶召爲翰林應奉文字。至元十五年，陞待制。十八年，陞直學士，爲太子左諭德。二十年，受詔爲曆議發明新曆順天求合之微考證前代人爲附會之失。 其《驗氣議》曰：天道運行，如環無端，治曆者必就陰消陽息之際，以爲立法之始。陰陽消息之機，何從而見之？惟候其日晷進退，則其機將無所遁。候之之法，不過植表測景，以究其氣至之始。智作能述，前代諸人爲法略備，苟能精思密索，心與理會，則前人述作之外，未必無所增益。舊法擇地平衍，設水準繩墨，植表其中，以度其中晷。然表短促，尺寸之下，所爲分秒太、半、少之數，未易分別。表長則分寸稍長，所不便者，景虛而淡，難得實景。前人欲就虛景之中，考求真實，或設望筒，或置小表，或以木爲規皆取表端日光下徹圭面。今以銅爲表，高三十六尺，端挾以二龍，舉一橫樑，下至圭面，共四十尺，是爲八尺之表五。圭表刻爲尺寸，舊寸一，今申而爲五，釐毫差易分。別創爲景符，以取實景。其制以銅葉，博二寸長加博之二，中穿一竅，若針芥然，以方閏爲趺，一端設爲機軸，令可開閤，榰其一端使其勢斜倚北高南下，往來遷就于虛景之中。竅達日光，僅如米許，隱然見橫樑於其中。舊法以表端測晷，所得者日體上邊之景，今以橫樑取之，實得中景，不容有毫末之差。 地中八尺表景，冬至長一丈三尺有奇，夏至尺有五寸。今京師長表，冬至之景七丈九尺八寸有奇，在八尺表則一丈五尺九寸六分；夏至之景一丈一尺七寸有奇在八尺表則二尺三寸四分。雖晷景長短所在不同，而其景長爲冬至，景短爲夏至，則一也。惟是氣至時刻考求不易，蓋至日氣正，則一歲氣節從而正矣。劉宋祖沖之嘗取至前後二十三四日間晷景，折取其中，定爲冬至，且以日差比課，推定時刻。宋皇祐間，周琮則取立冬、立春二日之景，以爲去至既遠，日差頗多，易爲推考。紀元以後諸曆爲法加詳，大抵不出沖之之法。新曆積日累月，實測中晷，自遠日以及近日，取前後日率相埒者，參考同異，初非偏取一二日之景以取數多者爲定，實減《大明曆》一十九刻二十分。仍以累歲實測中晷日差分寸，定擬二至時刻於後。 推至元十四年丁醜歲冬至。其年十一月十四日己亥景長七丈九尺四寸八分五釐五毫至二十一日丙午景長七丈九尺五寸四分一釐二十二日丁未景長七丈九尺四寸五分五釐。以己亥、丁未二日之景相校，餘三分五釐爲晷差，進二位；以丙午、丁未二日之景相校，餘八分六釐爲法；除之，得三十五刻：用減相距日八百刻，餘七百六十五刻；折取其中，加半日刻，共爲四百三十二刻半；百約爲日，得四日；餘以十二乘之，百約爲時，得三時，滿五十又作一時，共得四時；餘以十二收之，得三刻；命初起距日己亥算外，得癸卯日辰初三刻爲丁醜歲冬至。此取至前後四日景。十一月初九日甲午，景七丈八尺六寸三分五釐五毫；至二十六日辛亥，景七丈八尺七寸九分三釐五毫；二十七日壬子，景七丈八尺五寸五分。以甲午、壬子景相減，復以辛亥、壬子景相減，準前法求之，亦得癸卯日辰初三刻。至二十八日癸醜景七丈八尺三寸四釐五毫用壬子、癸醜二日之景與甲午景準前法求之亦合。此取至前後八九日景。十一月丙戌朔，景七丈五尺九寸八分六釐五毫；二日丁亥，景七丈六尺三寸七分七釐；至十二月初六日庚申，景七丈五尺八寸五分一釐。準前法求之，亦在辰初三刻。此取至前後一十七日景。十一月二十一日丙子，景七丈九寸七分一釐；至十二月十六日庚午，景七丈七寸六分；十七日辛未，景七丈一寸五分六釐五毫。準前法求之，亦得辰初三刻。此取至前後二十七日景。六月初五日癸亥，景一丈三尺八分；距十五年五月癸未朔，景一丈三尺三分八釐五毫；初二日甲申，景一丈二尺九寸二分五毫。準前法求之，亦合。此取至前後一百六十日景。 推十五年戊寅歲夏至。五月十九日辛醜，景一丈一尺七寸七分七釐五毫距二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分；二十九日辛亥，景一丈一尺八寸五釐五毫。用辛醜、庚戌二日之景相減，餘二釐五毫，進二位爲實；復用庚戌、辛亥景相減餘二分五釐五毫爲法除之得九刻用減相距日九百刻餘八百九十一刻；半之，加半日刻，百約得四日；餘以十二乘之，百約得十一刻；餘以十二收爲刻得三刻；命初起距日辛醜算外，得乙巳日亥正三刻夏至。此取至前後四日景。十四年十二月十五日己巳，景七丈一尺三寸四分三釐；距十五年十一月初二日辛巳景七丈七寸五分九釐五毫初三日壬午景七丈一尺四寸六釐。用己巳、壬午景相減，以辛巳、壬午景相減，除之亦合。此用至前後一百五十六日景。十四年十二月十二日丙寅，景七丈二尺九寸七分二釐五毫；十三日丁卯，景七丈二尺四寸五分四釐五毫；十四日戊辰，景七丈一尺九寸九釐；距十五年十一月初四日癸未，景七丈一尺九寸五分七釐五毫；初五日甲申，景七丈二尺五寸五釐；初六日乙酉，景七丈三尺三分三釐五毫。前後互取，所得時刻皆合。此取至前後一百五十八九日景。十四年十二月初七日辛酉，景七丈五尺四寸一分七釐；初八日壬戌，景七丈四尺九寸五分九釐五毫；初九日癸亥，景七丈四尺四寸八分六釐；距十五年十一月初九日戊子，景七丈四尺五寸二分五毫；初十日己醜，景七丈五尺三釐五毫；十一日庚寅，景七丈五尺四寸四分九釐五毫。以壬戌、己醜景相減爲實，以辛酉、壬戌景相減爲法，除之；或以壬戌、癸亥景相減；或以戊子、己醜景相減。若己醜、庚寅景相減，推前法求之，皆合。此取至前後一百六十三四日景。 推十五年戊寅歲冬至。其年十一月十九日戊戌，景七丈八尺三寸一分八釐五毫；距閏十一月初九日戊午，景七丈八尺三寸六分三釐五毫；初十日己未，景七丈八尺八分二釐五毫；用戊戌、戊午二日景相減，餘四分五釐爲晷差：進二位，以戊午、己未景相減，餘二寸八分一釐爲法；除之，得一十六刻，加相距日二千刻，半之，加半日刻，百約，得十日；餘以十二乘之，百約爲時，滿五十又進一時共得七時餘以十二收爲刻命初起距日己亥算外得戊申日未初三刻爲戊寅歲冬至。此取至前後十日景。十一月十二日辛卯，景七丈五尺八寸八分一釐五毫；十三日壬辰，景七丈六尺三寸一釐五毫；閏十一月十五日甲子，景七丈六尺三寸六分六釐五毫；十六日乙丑，景七丈五尺九寸五分三釐；十七日丙寅，景七丈五尺五寸四釐五毫。用壬辰、甲子景相減爲實，以辛卯、壬辰景相減爲法，除之，亦得戊申日未初三刻；或用甲子、乙丑景相減，推之亦合。若用辛卯、乙丑景相減爲實，用乙丑、丙寅景相減，除之，並同。此取至前後十六七日景。十一月初八日丁亥景七丈四尺三分七釐五毫閏十一月二十日己巳景七丈四尺一寸二分；二十一日庚午，景七丈三尺六寸一分四釐五毫。用丁亥、己巳景相減爲實，以己巳、庚午景相減，除之，亦同。此取至前後二十一日景。六月二十六日戊寅，景一丈四尺四寸五分二釐五毫；二十七日己卯，景一丈四尺六寸三分八釐；至十六年四月二日戊寅，景一丈四尺四寸八分一釐。以二戊寅景相減用後戊寅、己卯景相減，推之亦同。此取至前後一百五十日景。五月二十八日庚戌，景一丈一尺七寸八分至十六年四月二十九日乙巳景一丈一尺八寸六分三釐；三十日丙午，景一丈一尺七寸八分三釐。用庚戌、丙午景相減，以乙巳、丙午景相減推之亦同。此取至前後百七十八日景。 推十六年己卯歲夏至。四月十九日乙未，景一丈二尺三寸六分九釐五毫；二十日丙申，景一丈二尺二寸九分三釐五毫；至五月十九日乙丑，景一丈二尺二寸六分四釐。以丙申、乙丑景相減，餘二分九釐五毫爲晷差，進二位；以乙未、丙申景相減，得七分六釐爲法；除之，得三十八刻；加相距日二千九百刻，半之，加半日刻，百約得十五日；餘以十二乘之，百約得二時；餘以十二收之，得二刻；命初起距日丙申算外，得辛亥日寅正二刻爲夏至。此取至前後十五日景。三月二十一日戊辰，景一丈六尺三寸九分五毫；六月十六日壬辰，景一丈六尺九分九釐五毫；十七日癸巳，景一丈六尺三寸一分一釐。用戊辰、癸巳景相減，以壬辰、癸巳景相減，準前法推之亦合。此取至前後四十二日景。三月初二日己酉，景二丈一尺三寸五釐；至七月初七日壬子，景二丈一尺一寸九分五釐五毫；初八日癸醜，景二丈一尺四寸八分六釐五毫。用己酉、壬子景相減，以壬子、癸醜景相減，如前法推之亦合。此取至前後六十一二日景。三月戊申朔，景二丈一尺六寸一分一釐；至七月初八日癸醜，景二丈一尺四寸八分六釐五毫；初九日甲寅，景二丈一尺九寸一分五釐五毫。用戊申、癸醜景相減，以癸醜、甲寅景相減，準前法推之亦同。此取至前後六十二三日景。二月十八日乙未，景二丈六尺三分四釐五毫；至七月二十一日丙寅，景二丈五尺八寸九分九釐；二十二日丁卯景二丈六尺二寸五分九釐。用乙未、丙寅景相減，以丙寅、丁卯景相減，如前法推之亦同。此取至前後七十五六日景。二月三日庚辰，景三丈二尺一寸九分五釐五毫；至八月初五日庚辰，景三丈一尺五寸九分六釐五毫；初六日辛巳，景三丈二尺二分六釐五毫。用前庚辰與辛巳景相減以後庚辰辛巳景相減如前推之亦同。此取至前後九十日景。正月十九日丁卯景三丈八尺五寸一釐五毫；至八月十八日癸巳，景三丈七尺八寸二分三釐；十九日甲午，景三丈八尺三寸一分五釐。用丁卯、甲午景相減，以癸巳、甲午景相校，如前推之亦同。此取至前後一百三四日景。 推十六年己卯歲冬至。十月二十四日戊戌，景七丈六尺七寸四分；至十一月二十五日己巳，景七丈六尺五寸八分；二十六日庚午，景七丈六尺一寸四分二釐五毫。用戊戌、己巳景相減，餘一寸六分爲晷差，進二位；以己巳、庚午景相減，餘四寸三分七釐五毫爲法；除之得三十六刻；以相減距日三千一百刻餘三千六十四刻；半之，加五十刻，百約得一十五日；餘以十二乘之，百約爲時滿五十又進一時共得十時；餘以十二收之爲刻，得二刻；命初起距日戊戌算外，得癸醜日戌初二刻冬至。此取至前後十五六日景。十月十八日壬辰景七丈四尺五分二釐五毫十九日癸巳景七丈四尺五寸四分五釐二十日甲午，景七丈五尺二分五釐；至十一月二十八日壬申，景七丈五尺三寸一分；二十九日癸酉，景七丈四尺八寸五分二釐五毫；十二月甲戌朔，景七丈四尺三寸六分五釐；初二日乙亥，景七丈三尺八寸七分一釐五毫。用甲午、癸酉景相減，癸巳、甲午景相減，如前推之亦同。若以壬申、癸酉景相減爲法，推之亦同。此取至前後十八九日景。若用癸巳與甲戌景相減，以壬辰、癸巳景相減，如前法推之；或用癸巳、甲午景相減，推之；或用甲戌、癸酉景相減，推之；或用甲戌、乙亥景相減推之或以壬辰、乙亥景相減用壬辰、癸巳景相減如前法推之並同。此取至前後二十日景。十月十六日庚寅，景七丈三尺一分五釐；十二月初三日丙子，景七丈三尺三寸二分；初四日丁醜，景七丈二尺八寸四分二釐五毫。用庚寅、丁醜景相減，以丙子、丁醜景相減，推之亦同。此取至前後二十三日景。十月十四日戊子，景七丈一尺九寸二分二釐五毫；十五日己醜，景七丈二尺四寸六分九釐；十二月初五日戊寅，景七丈二尺二寸七分二釐五毫。用己醜、戊寅景相減，以戊子、己醜景相減，推之，或用己醜、庚寅景相減，推之亦同。此取至前後二十四日景。十月初七日辛巳，景六丈七尺七寸四分五釐；初八日壬午，景六丈八尺三寸七分二釐五毫；初九日癸未，景六丈八尺九寸七分七釐五毫；十二月十二日乙丑，景六丈八尺一寸四分五釐；用壬午、乙丑景相減，以辛巳、壬午景相減推之，壬午、癸未景相減，推之亦同。此取至前後三十一〔二〕日景。十月乙亥朔，景六丈三尺八寸七分；〔十二月〕十八日辛卯，景六丈四尺二寸九分七釐五毫；十九日壬辰，景六丈三尺六寸二分五釐。用乙亥、壬辰景相減，以辛卯、壬辰景相減，推之亦同。此取至前後三十八日景。九月二十二日丙寅，景五丈七尺八寸二分五釐；十二月二十八日辛醜，景五丈七尺五寸八分；二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分五釐。用丙寅、辛醜景相減，以辛醜、壬寅，景相減，推之亦同。此取至前後四十七八日景。九月二十日甲子，景五丈六尺四寸九分二釐五毫；至十二月二十九日壬寅，景五丈六尺九寸一分一釐；至十七年正月癸卯朔景五丈六尺二寸五分。用甲子、癸卯相減，壬寅、癸卯景相減，推之亦同。此取至前後五十日景。右以累年推測到冬、夏二至時刻爲准，定擬至元十八年辛巳歲前冬至，當在己未日夜半後六刻，即醜初一刻。 其《歲餘歲差議》曰：周天之度，周歲之日，皆三百六十有五。全策之外又有奇分，大率皆四分之一。自今歲冬至距來歲冬至，歷三百六十五日，而日行一周，凡四周，歷千四百六十則餘一日析而四之則四分之一也。然天之分常有餘，歲之分常不足，其數有不能齊者，惟其所差至微，前人初未覺知。迨漢末劉洪始覺冬至後天，謂歲周餘分太強，乃作乾象曆，減歲餘分二千五百爲二千四百六十二。至晉虞喜，宋何承天、祖沖之，謂歲當有差，因立歲差之法。其法損歲餘益天周，使歲餘浸弱，天周浸強，強弱相減，因得日躔歲退之差。歲餘、天週二者實相爲用，歲差由斯而立，日躔由斯而得，一或損益失當，孰能與天葉哉？今自劉宋大明壬寅以來，凡測景驗氣，得冬至時刻真數者有六，取相距積日時刻，以相距之年除之，各得其時所用歲餘。復自大明壬寅，距至元戊寅積日時刻，以相距之年除之，得每歲三百六十五日二十四分二十五秒，比《大明曆》減去一十一秒定爲方今所用歲餘。餘七十五秒用益所謂四分之一，共爲三百六十五度二十五分七十五秒，定爲天周。餘分強弱相減，餘一分五十秒，用除全度，得六十六年有奇，日卻一度，以六十六年除全度，適得一分五十秒，定爲歲差。復以《堯典》中星考之，其時冬至日在女、虛之交。及考之前史，漢元和二年冬至，日在鬥二十一度；晉太元九年，退在鬥十七度：宋元嘉十年，在鬥十四度末：梁大同十年，在鬥十二度；隋開皇十八年，猶在鬥十二度；唐開元十二年，在鬥九度半：今退在箕十度。取其距今之年、距今之度較之，多者七十餘年，少者不下五十年，輒差一度。宋慶元間，改《統天曆》，取《大衍》歲差率八十二年，及開元所距之差五十五年，折取其中，得六十七年，爲日卻行一度之差。施之今日，質諸天道，實爲密近。然古今曆法，合於今必不能通于古，密于古必不能驗於今。今授時曆，以之考古，則增歲餘而損歲差；以之推來，則增歲差而損歲餘；上推春秋以來冬至，往往皆合；下求方來，可以永久而無弊；非止密於今日而已。 自春秋獻公以來凡二千一百六十餘年，用《大衍》、《宣明》、《紀元》、《統天》、《大明》、《授時》六曆推算冬至，凡四十九事。《大衍曆》合者三十二，不合者十七《宣明曆》合者二十六，不合者二十三；《紀元曆》合者三十五，不合者十四：《統天曆》合者三十八，不合者十一；《大明曆》合者三十四不合者十五：《授時曆》合者三十九不合者十事。今按獻公十五年戊寅歲正月甲寅朔旦冬至，《授時曆》得甲寅，《統天曆》得乙卯，後天一日，至僖公五年正月辛亥朔旦冬至《授時》、《統天》皆得辛亥，與天合；下至昭公二十年己卯歲正月己醜朔旦冬至，《授時》、《統天》皆得戊子，並先一日，若曲變其法以從之，則獻公、僖公皆不合矣。以此知《春秋》所書昭公冬至，乃日度失行之驗。一也。《大衍曆》考古冬至謂劉宋元嘉十三年丙子歲十一月乃日度失行非三曆之差。今以《授時曆》考之，亦得癸酉。二也。大明五年辛醜歲十一月乙酉冬至，諸曆皆得甲申，殆亦日度之差一三也。陳太建四年壬辰歲十一月丁卯景長，《大衍》、《授時》皆得丙寅，是先一日；太建九年丁酉歲十一月壬辰景長，《大衍》、《授時》皆得癸巳，是後一日。一失之先，一失之後。若合於壬辰，則差于丁酉；合于丁酉，則差於壬辰，亦日度失行之驗。五也。開皇十一年辛亥歲十一月丙午景長，《大衍》、《統天》、《授時》皆得丙午，與天合；其開皇十四年甲寅歲十一月辛酉冬至，而《大衍》、《統天》、《授時》皆得壬戌。若合于辛亥，則失於甲寅；合於甲寅，則失于辛亥。其開皇十四年甲寅歲冬至，亦日度失行。六也。唐貞觀十八年甲辰歲十一月乙酉景長，諸曆得甲申；貞觀二十三年己酉歲十一月辛亥景長，諸曆皆得庚戌，《大衍曆》議以永淳、開元冬至推之，知前二冬至乃史官依時曆以書，必非候景所得，所以不合，今以《授時曆》考之亦然。八也。自前宋以來，測景驗氣者凡十七事，其景德丁未歲戊辰日南至，《統天》、《授時》皆得丁卯，是先一日；嘉泰癸亥歲甲戌日南至，《統天》、《授時》皆得乙亥，是後一日。一失之先，一失之後。若曲變其數，以從景德，則其餘十六事多後天；從嘉泰，則其餘十六事多先天，亦日度失行之驗。十也。前十事皆授時曆所不合，以此理推之，非不合矣，蓋類其同則知其中，辨其異則知其變。今於冬至略其日度失行及史官依時曆書之者凡十事，則《授時曆》三十九事皆中，《統天曆》與今曆不合者僅有獻公一事，《大衍曆》推獻公冬至後天二日《大明》後天三日《授時曆》與天合。下推至元庚辰冬至，《大衍》後天八十一刻，《大明》後天一十九刻，《統天曆》先天一刻，《授時曆》與天合。以前代諸曆校之，授時爲密，庶幾千歲之日至，可坐而致雲。