《疇人傳》

元四 李謙下 其《古今曆參校疎密議》曰：「《授時曆》與古曆相校，疎密自見。蓋上能合於數百載之前則下可行之永久此前人定説。古稱善治曆者，若宋何承天、隋劉焯、唐傅仁均、僧一行之流，最爲傑出。今以其曆與至元庚辰冬至氣應相校未有不舛戾者，而以新曆上推往古，無不吻合，則其疎密從可知已。宋文帝元嘉十九年壬午歲十一月乙巳日十一刻冬至，距本朝至元十七年庚辰歲，計八百三十八年。其年十一月氣應己未六刻冬至，《元嘉曆》推之，得辛酉，後《授時》二日；《授時》上考元嘉壬午歲冬至，得乙巳，與元嘉合。隋大業三年丁卯歲十一月庚午日五十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計六百七十三年。《皇極曆》推之，得庚申冬至，後授時一日；《授時》上考大業丁卯歲冬至，得庚午，與《皇極》合。唐武德元年戊寅歲十一月戊辰日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計六百六十二年。《戊寅曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時曆》上考武德戊寅歲，得戊辰冬至，與《戊寅曆》合。開元十五年丁卯歲十一月己亥日七十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計五百五十三年。《大衍曆》推之，得己未冬至，後《授時》八十一刻；《授時曆》上考開元丁卯歲，得己亥冬至，與《大衍曆》合，先四刻。長慶元年辛醜歲十一月壬子日七十六刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計四百五十九年。《宣明曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時曆》上考長慶辛醜歲，得壬子冬至，與《宣明曆》合。宋太平興國五年庚辰歲十一月丙午日六十三刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計三百年。《乾元曆》推之得庚申冬至，後《授時》一日；《授時曆》上考太平興國庚辰歲，得丙午冬至，與《乾元》合。咸平三年庚子歲十一月辛卯日五十三刻冬至距至元十七年庚辰歲計二百八十年。《儀天曆》推之，得庚申冬至，後《授時》一日；《授時》上考咸平庚子歲，得辛卯冬至，與《義天》合。崇寧四年乙酉歲十一月辛醜日六十二刻冬至，距至元十七年庚辰歲計一百七十五年。《紀元曆》推之得己未日冬至後《授時》十九刻；《授時曆》上考崇寧乙酉歲，得辛醜日冬至，與《紀元曆》合，先二刻。金大定十九年己亥歲十一月己巳日六十四刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計一百一年。《大明曆》推之，得己未冬至，後《授時》一十九刻；《授時曆》上考大定己亥歲己巳冬至，與《大明曆》合，先九刻。慶元四年戊午歲十一月己酉日一十七刻冬至，距至元十七年庚辰歲，計八十二年。《統天曆》推之，得己未冬至，先《授時》一刻；《授時曆》上考慶元戊午歲，得己酉日冬至，與《統天曆》合。 其《周天列宿度議》曰：「列宿著於天，爲舍二十有八，爲度三百六十五有奇。非日躔無以校其度，非列舍無以紀其度，周天之度，因二者以得之。天體渾圓，當二極南北之中，絡以赤道，日月五星之行，常出入於此。天左旋，日月五星遡而右轉，昔人曆象日月星辰，謂此也。然列舍相距度數，歷代所測不同非微有動移，則前人所測或有未密。古用闚管，今新制渾儀測用二錢所測度數分秒與前代不同。」 其《日躔議》曰：「日之麗天，縣象最著，大明一生，列宿俱熄。古人欲測躔度所在，必以昏旦夜半中星衡考其所距從考其所當。然昏旦夜半時刻未易得真，時刻一差，則所距、所當，不容無舛。晉薑岌首以月食衝檢知日度所在，紀元曆復乙太白誌其相距遠近，於昏後明前驗定星度，因得日躔。今用至元丁醜四月癸酉望月食既，推求得冬至日躔赤道箕宿十度，黃道九度有奇。仍自其年正月至己卯歲終，三年之間，日測太陰所離宿次及歲星、太白相距度，定驗參考，共得一百三十四事，皆躔箕宿，適與月食所衝允合。以金趙知微所修大明曆法推之冬至猶躔鬥初度三十六分六十四秒，比新測實差七十六分六十四秒。」 其《日行盈縮議》曰：「日月之行，有冬有夏，言日月行度，冬夏各不同也。人徒知日行一度一歲一周天，曾不知盈縮損益四序有不同者。北齊張子信積候合蝕加時，覺日行有入氣差，然損益未得其正。趙道嚴復準晷景長短，定日行進退，更造盈縮以求虧食。至劉焯立躔度，與四序升降，雖損益不同，後代祖述用之。夫陰陽往來，馴積而變，冬至日行一度強出赤道二十四度弱，自此日軌漸北，積八十八日九十一分，當春分前三日，交在赤道，實行九十一度三十一分而適平。自後其盈日損，復行九十三日七十一分，當夏至之日，入赤道內二十四度弱，實行九十一度三十一分，日行一度弱，向之盈分盡損而無餘。自此日軌漸南，積九十三日七十一分，當秋分後三日，交在赤道，實行九十一度一十一分而復平。自後其縮日損，行八十八日九十一分，出赤道外二十四度弱，實行九十一度三十一分，復當冬至，向之縮分盡損而無餘。盈縮均有損益，初爲益，末爲損。自冬至以及春分，春分以及夏至，日躔自北陸轉而西，西而南，於盈爲益，益極而損損至於無餘而縮。自夏至以及秋分秋分以及冬至，日躔自南陸轉而東，東而北，於縮爲益，益極而損，損至於無餘而復盈。盈初縮末，俱八十八日九十一分而行一象；縮初盈末，俱九十三日七十一分而行一象，盈縮極差，皆二度四十分。由實測晷景而得，仍以算術推考，與所測允合。」 其《月行遲疾議》曰：「古曆謂月平行十三度十九分度之七。漢耿壽昌以爲日月行至牽牛、東井，日過度，月行十五度，至婁、角始平行，赤道使然。賈逵以爲今合朔、弦、望、月食加時所以不中者蓋不知月行遲疾意。李梵、蘇統皆以月行當有遲疾，不必在牽牛、東井、婁、角之間，乃由行道有遠近出入所生。劉洪作《乾象曆》精思二十餘年始悟其理，列爲差率，以囿進退損益之數，後之作曆者鹹因之。至唐一行考九道委蛇曲折之數，得月行疾徐之理。先儒謂月與五星皆近日而疾遠日而遲。曆家立法以入轉一周之日爲遲疾二曆，各立初末二限，初爲益，末爲損。在疾初遲末，其行度率過于平行；遲初疾末，率不及于平行。自入轉初日行十四度半強從是漸殺歷七日，適及平行度，謂之疾初限，其積度比平行餘五度四十二分，自是其疾日損。又歷七日，行十二度微強，向之益者盡損而無餘，謂之疾末限，自是復行遲度。又歷七日，適及平行度，謂之遲初限其積度比平行不及五度四十二分，自此其遲日損，行度漸增。又歷七日，復行十四度半強向之益者亦損而無餘，謂之遲末限。入轉一周，實二十七日五十五刻四十六分，遲疾極差，皆五度四十二分。舊曆日爲一限，皆用二十八限。今定驗得轉分進退時各不同，今分日爲十二，共三百三十六限半之爲半周限析而四之爲象限。」 其《白道交周議》曰：「當二極南北之中橫絡天體以紀宿度者，赤道也。出入赤道爲日行之軌者，黃道也。所謂白道，與黃道交貫，月行之所由也。古人隨方立名，分爲八行，與黃道而九，究而言之，其實一也。惟其隨交遷徙，變動不居，故強以方色名之。月道出入日道，兩相交直，當朔則日爲月所掩，當望則月爲日所衝，故皆有食。然涉交有遠近，食分有深淺，皆可以數推之。所謂交周者，月道出入日道一周之日也。日道距赤道之遠，爲度二十有四。月道出入日道，不踰六度其距赤道也遠不過三十度近不下十八度。出黃道外爲陽，入黃道內爲陰，陰陽一周，分爲四象。月當黃道爲正交，出黃道外六度爲半交，復當黃道爲中交，入黃道內六度爲半交，是爲四象。象別七日，各行九十一度，四象周歷，是謂一交之終，以日計之，得二十七日二十一刻二十二分二十四秒。每一交退天一度二百分度之九十三凡二百四十九交，退天一周有奇，終而復始。正交在春正，半交出黃道外六度，在赤道內十八度。正交在秋正，半交出黃道外六度，在赤道外三十度。中交在春正，半交入黃道內六度，在赤道內三十度。中交在秋正半交入黃道內六度，在赤道外十八度。月道與赤道正交距春秋二正，黃赤道正交宿度，東西不及十四度三分度之二。夏至在陰曆內，冬至在陽曆外，月道與赤道所差者多；夏至在陽曆外，冬至在陰曆內，月道與赤道所差者少。蓋白道二交有斜有直，陰陽二曆有內有外，直者密而狹，斜者疎而闊，其差亦從而異。今立象置法求之，差數多者不過三度五十分少者不下一度三十分是爲月道與赤道多少之差。」 其《晝夜刻議》曰：「日出爲晝，日入爲夜。晝夜一周共爲百刻。以十二辰分之，每辰得八刻三分刻之一。無間南北，所在皆同。晝短則夜辰，夜短則晝長，此自然之理也。春秋二分，日當赤道出入，晝夜正等，各五十刻。自春分以及夏至日入赤道內，去極浸近，夜短而晝長。自秋分以及冬至，日出赤道外去極浸遠，晝短而夜長。以地中揆之，長不過六十刻，短不過四十刻。地中以南，夏至去日出入之所爲遠，其長有不及六十刻者；冬至去日出入之所爲近，其短有不止四十刻者。地中以北，夏至去日出入之所爲近，其長有不止六十刻者；冬至去日出入之所爲遠，其短有不及四十刻者。今京師冬至日出辰初二刻，日入申正二刻，故晝刻三十八，夜刻六十二；夏至日出寅正二刻，日入戌初二刻，故晝刻六十二，夜刻三十八。蓋地有南北，極有高下，日出入有早晏，所以不同耳。今《授時曆》晝夜刻以京師爲正。」 其《交食議》曰：「曆法疎密，驗在交食，然推步之術難得其密，加時有早晚，食分有淺深，取其密合，不容偶然。推術加時，必本於躔離朒眺；考求食分，必求於距交遠近；苟入氣盈縮、入轉遲疾未得其正，則合朔不失之先，必失之後。合朔失之先後，則虧食時刻，其能密乎？日月俱東行，日遲月疾，月追日及，是爲一會。交直之道有陽曆、陰曆交會之期有中前、中後；加以地形南北東西之不同，人目高下邪直之各異，此食分多寡理不得一者也。今合朔既正，則加時無早晚之差；氣刻適中，則食分無強弱之失；推而上之，自《詩》、《書》、《春秋》及三國以來所載虧食，無不合焉者。合於既往，則行之悠久，自可無弊矣。」 《詩》、《書》所載日食二事：《書.胤征》「惟仲康肇位四海。乃季秋月朔，辰弗集于房」。今按大衍曆作仲康即位之五年癸巳，距辛巳三千四百八年，九月庚戌朔泛交二十六日五千四百二十一分入食限。《詩.小雅.十月之交》大夫刺幽王也。「十月之交，朔日辛卯。日有食之，亦孔之醜。」今按梁太史令虞鄺雲，十月辛卯朔，在幽王六年乙丑朔。大衍亦以爲然。以《授時曆》推之，是歲十月辛卯朔，泛交十四日五千七百九分入食限。 《春秋》日食三十七事：隱公三年辛酉歲春王二月己巳，日有食之。杜預雲：「不書日，史官失之。」《公羊》雲：「日食或言朔或不言朔，或日或不日，或失之前或失之後。失之前者朔在前也失之後者朔在後也。」《穀梁》雲：「言日不言朔，食晦日也。」薑岌校《春秋》日食雲：「是歲二月己亥朔，無己巳，似失一閏。三月己巳朔，去交分入食限。」《大衍》與薑岌合。今《授時曆》推之，是歲三月己巳朔加時在晝去交分二十六日六千六百三十一入食限。桓公三年壬申歲七月壬辰朔，日有食之。薑岌以爲是歲七月癸亥朔，無壬辰，亦失閏。其八月壬辰朔，去交分入食限。《大衍》與薑岌合。以今曆推之，是歲八月壬辰朔，加時在晝，食六分一十四秒。桓公十七年丙戌歲，冬十月朔，日有食之。《左氏》雲：「不書日，史官失之。」《大衍》推得在十一月交分入食限，失閏也。以今曆推之，是歲十一月加時在晝，交分二十六日八千五百六十入食限。莊公十八年乙巳歲春王三月，日有食之。《穀梁》雲：「不言日，不言朔，夜食也。」《大衍》推是歲五月朔交分入食限，三月不應食。以今曆推之，是歲三月朔不入食限。五月壬子朔加時在晝，交分入食限，蓋誤「五」爲「三」。莊公二十五年壬子歲六月辛未朔，日有食之。《大衍》推之，七月辛未朔，交分入食限。以今曆推之，是歲七月辛未朔，加時在晝，交分二十七日四百八十九入食限，失閏也。莊公二十六年癸醜歲冬十有二月癸亥朔，日有食之。今曆推之，是歲十二月癸亥朔，加時在書，交分十四日三千五百五十一入食限。莊公三十年丁巳歲九月庚午朔，日有食之。今曆推之，是歲十月庚午朔，加時在晝，去交分十四日四千六百九十六入食限，失閏也。《大衍》同。僖公十二年癸酉歲春王三月庚午朔，日有食之。薑氏雲：「三月朔交不應食，在誤條。其五月庚午朔，去交分入食限。」《大衍》同。今曆推之是歲五月庚午朔加時在晝去交分二十六日五千一百九十二入食限蓋「五」誤爲「三」。僖公十五年丙子歲夏五月，日有食之。《左氏》雲：「不書朔與日，史官失之也。」《大衍》推四月癸醜朔，去交分入食限，差一閏。今曆推之，是歲四月癸醜朔，去交分一日一千三百一十六入食限。文西元年乙未歲二月癸亥朔，日有食之。薑氏雲：「二月甲午朔，無癸亥。三月癸亥朔，入食限。」《大衍》亦以爲然。今曆推之，是歲三月癸亥朔，加時在晝，去交分二十六日五千九百十七分入食限失閏也。文公十五年己酉歲六月辛醜朔，日有食之。今曆推之，是歲六月辛醜朔，加時在晝，交分二十六日四千四百七十三分入食限。宣公八年庚申歲秋七月甲子，日有食之。杜預以七月甲子晦食。薑氏雲：「十月甲子朔，食。」《大衍》同。今曆推之，是歲十月甲子朔，加時在晝，食九分八十一秒，蓋「十」誤爲「七」。宣公十年壬戌歲夏四月丙辰，日有食之。今曆推之，是月丙辰朔加時在晝交分十四日九百六十八分入食限。宣公十七年己巳歲六月癸卯，日有食之。薑氏雲：「六月甲辰朔不應食。」《大衍》雲：「是年五月在交限，六月甲辰朔，交分已過食限，蓋誤。」今曆推之，是歲五月乙亥朔，入食限。六月甲辰朔，泛交二日已過食限，《大衍》爲是。成公十六年丙辰歲六月丙寅朔，日有食之。今曆推之是歲六月丙寅朔，加時在晝，去交分二十六日九千八百三十五分入食限。成公十七年丁亥歲十有二月丁巳朔，日有食之。薑氏雲：「十二月戊子朔，無丁巳，似失閏。」大衍于十一月丁巳朔，交分入食限。今曆推之是歲十一月丁巳朔，加時在晝，交分十四日二千八百九十七分入食限，與《大衍》同。襄公十四年壬寅歲二月乙未朔，日有食之。今曆推之，是歲二月乙未朔，加時在晝，交分十四日一千三百九十三分入食限也。襄公十五年癸卯歲秋八月丁巳朔日有食之。薑氏雲：「七月丁巳朔，食，失閏也。」《大衍》同。今曆推之，是歲七月丁巳朔，加時在晝，去交分二十六日三千三百九十四分入食限。襄公二十年戊申歲冬十月丙辰朔日有食之。今曆推之是歲十月丙辰朔加時在晝，交分十三日七千六百分入食限。襄公二十一年己酉歲秋七月庚戌朔，日有食之。今曆推之，是月庚戌朔，加時在晝，交分十四日三千六百八十二分入食限。冬十月庚辰朔日有食之。薑氏雲：「比月而食，宜在簿條。」《大衍》亦以爲然。今曆推之，十月已過交限，不應頻食，薑説爲是。襄公二十三年辛亥歲春王二月癸酉朔，日有食之，今曆推之，是月癸酉朔，加時在晝，交分二十六日五千七百三分入食限。襄公二十四年壬子歲秋七月甲子朔，日有食之，既。今曆推之，是月甲子朔，加時在晝，日食九分六秒。八月癸巳朔，日有食之。《漢志》：「董仲舒以爲比食又既。」《大衍》雲：「不應頻食，在誤條。」今曆推之，立分不葉，不應食。《大衍》説是。襄公二十七年乙卯歲冬十有二月乙亥朔，日有食之。薑氏雲：「十一月乙亥朔，交分入限，應食。」大衍同。今曆推之，是歲十一月乙亥朔，加時在晝，交分初日八百二十五分入食限。昭公七年丙寅歲夏四月甲辰朔，日有食之。今曆推之，是月甲辰朔，加時在晝，交分二十七日二百九十八分入食限。昭公十五年甲戌歲六月丁巳朔，日有食之。《大衍》推五月丁巳朔，食，失一閏。今曆推之，是歲五月丁巳朔，加時在晝，交分十三日九千五百六十七分入食限。昭公十七年丙子歲夏六月甲戌朔日有食之。薑氏雲「六月乙巳朔交分不葉不應食，當誤。」《大衍》雲：「當在九月朔，六月不應食，薑氏是也。」今曆推之，是歲九月甲戌朔，加時在晝，交分二十六日七千六百五十分入食限。昭公二十一年庚辰歲七月壬午朔日有食之。今曆推之是月壬午朔加時在晝交分二十六日八千七百九十四分入食限。昭公二十二年辛巳歲冬十有二月癸酉朔，日有食之。今曆推之，是月癸酉朔，交分十四日一千八百入食限。杜預以長曆推之，當爲癸卯非是。昭公二十四年癸未歲夏五月乙未朔日有食之。今曆推之是月乙未朔，加時在晝，交分二十六日三千八百三十九分入食限。昭公二十一年庚寅歲十有二月辛亥朔，日有食之。今曆推之是月辛亥朔加時在晝，交分二十六日六千一百二十八分入食限。定公五年丙申歲春三月辛亥朔日有食之。今曆推之，三月辛卯朔，加時在晝，交分十四日三百三十四分入食限。定公十二年癸卯歲十一月丙寅朔，日有食之。今曆推之，是歲十月丙寅朔，加時在晝，交分十四日二千六百二十二分入食限，蓋失一閏。定公十五年丙午歲八月庚辰朔，日有食之。今曆推之是月庚辰朔，加時在晝，交分十三日七千六百八十五分入食限。哀公十四年庚申歲夏五月庚申朔，日有食之。今曆推之，是月庚申朔，加時在晝，交分二十六日九千二百一分入食限。 右《詩》、《書》所載日食二事，《春秋》二百四十二年間，凡三十有七事，以《授時曆》推之。惟襄公二十一年十月庚辰朔，及二十四年八月癸巳朔，不入食限，蓋自有曆以來，無比月而食之理。其三十五食，食皆在朔，經或不書日，不書朔，《公羊》、《穀梁》以爲食晦二者非《左氏》以爲史官失之者，得之。其間或差一日二日者，蓋由古曆疎闊，置閏失當之弊，姜岌、一行已有定説。孔子作書，但因時曆以書，非大義所關，故不必致詳也。 其《定朔議》曰：日平行一度，月平行十三度十九分度之七，一晝夜之間，月先日十二度有奇。歷二十九日五十三刻，復追及日，與之同度，是謂經朔。經朔雲者，謂合朔大量不出此也。日有盈縮，月有遲疾，以盈縮遲疾之數損益之，始爲定朔。古人立法，簡而未密，初用平朔，一大一小，故日食有在朔二，月食有在望前後者。漢張衡以月行遲疾，分爲九道，宋何承天以日行盈縮推定小餘，故月有三大二小。隋劉孝孫、劉焯欲遵用其法，時議排抵，以爲迂怪，卒不能行。唐傅仁均始採用之，至貞觀十九年九月後，四月頻大，復用平朔。訖麟德元年，始用李淳風甲子元曆，定朔之法遂行。淳風又以晦月頻見，故立進朔之法謂朔日小餘，在日法四分之三已上者，虛進一日，後代皆循用之。然虞鄺嘗曰：「朔在會同，苟躔次既合，何疑於頻大；日月相離，何拘於間小。」一行亦曰：「天事誠密，雖四大三小，庸何傷？」今但取辰集時刻所在之日，以爲定朔，朔雖小餘在進限，亦不之進，甚矣，人之安於故習也。初曆法用平朔，止知一大一小爲法之不可易，初聞三大二小之説，皆不以爲然。自有曆以來下訖麟德而定朔始行四大三小，理數自然，唐人弗克若天，而止用平朔。迨本朝至元，而常議方革。至如進朔之意，止欲避晦日月見，殊不思合朔在酉戌亥距前日之卯十八九辰矣若進一日，則晦不見月，此論誠然。苟合朔在辰申之間，不當進，距前日之卯已踰十四度，則月見於晦，庸得免乎？且月之隱見，本天道之自然，朔之進退，出入爲之牽強，孰若廢人用天，不復虛進，爲得其實哉？至理所在，奚恤乎人言，可爲知者道也。 其《不用積年日法議》曰：曆法之作，所以步日月之躔離，候氣朔之盈虛，不揆其端無以測知天道，而與之吻合；然日月之行，遲速不同氣朔之運參差不一，昔人立法，必推求往古生數之始，謂之演紀上元。當斯之際，日月五星同度，如合璧連珠然。惟其世代綿遠，馴積其數至踰億萬，後人厭其布算繁多，互相推考，斷截其數，而增損日法，以爲得改憲之術，此歷代積年日法所以不能相同者也。然行之未遠，浸復差失，蓋天道自然，豈人爲附會所能苟合哉？夫七政運行於天，進退自有常度，苟原始要終，候驗周匝，則象數昭著，有不容隱者，又何必捨目前簡易之法，而求億萬年宏闊之術哉？今授時曆以至元辛巳爲元所用之數，一本諸天，秒而分分而刻，刻而日，皆以百爲率，比之他曆積年日法推演附會出於人爲者，爲得自然。 或曰：「昔人謂建曆之本，必先立元，元正然後定日法，法定然後度周天，以定分至。然則曆之有積年日法尚矣。自黃帝以來，諸曆轉相祖述，殆七八十家，未聞捨此而能成者。今一切削去，無乃昧于本原而考求未得其方歟？」是殆不然。晉杜預有雲：「治曆者當順天以求合，非爲合以驗天。」前代演積之法，不過爲合驗天耳。今以舊曆頗疎，乃命釐正，法之不密，在所必更，奚暇踵故習哉？成宗即位，陞學士。大德六年，爲翰林承旨。卒年七十九。《元史》本傳、《曆志》。 論曰：《術議》發揮《授時》修改創法之故，實事求是，不涉虛誕，足以爲後來之折衷。其《不用積年日法》一議，尤見郭氏卓識，度越千載。蓋唐宋算家，拘於演譔萬分截法，當時詆爲小術。《授時》所用，正五代民間之法，而不失爲大家。步算要在測驗而已劉羲叟謂《大衍》依數立法後世無以易，豈篤論戰！ 齊履謙 齊履謙，字伯恒。父義，善算術，履嫌年十一，教以推步星曆，盡曉其法。至元十六年，初立太史局，改治新曆。補星曆生，同輩皆司天臺官子太史王恂問以算數莫能對履謙獨隨問隨答恂大奇之。新曆既成，復預修曆經曆議。二十九年，授星曆教授。都城刻漏舊以木爲之，其形如碑，故名碑漏，內設曲筒，鑄銅爲丸。自碑首轉行而下，鳴鐃以爲節，其漏經久廢壞，晨昏失度。大德元年，中書俾履謙視之，因其刻漏旁有宋舊銅壺四，於是按圖考定蓮花寶山等漏，制命工改作。又請重建鼓樓增置更鼓並守漏卒，當時遵用。二年遷保章正始專曆官之政。三年八月朔，加時巳，依曆日食二分有奇，至其時不食，衆皆懼。履謙曰：「當食不食，自古有之。矧時近午，陽盛陰微，宜當食不食。」遂考唐開元以來當蝕不蝕者凡十事以聞。六年六月朔，時加戌，依曆日蝕五十七秒。衆以涉交既淺，且復近濁，欲匿不報。履謙曰：「吾所掌者常數也。其食與否，則係於天。」獨以狀聞。至其時果食。衆嘗爭沒日不能決，履謙曰：「氣本十五日，而間有十六日者，餘分之積也，故曆法以所積之日，命爲沒日，不出本氣者爲是。」衆服其議。九年南郊，履謙攝司天臺官。舊制享祀司天雖掌時刻，而無鐘鼓更漏，往往至旦始行其事。履謙白宰執用鐘鼓更漏，俾早晏有節，從之。至大三年，陞授時郎秋官正兼領冬官正事。四年，擢國子監丞，改授奉直大夫、國子司業。未幾復簽太史院事。延祐元年，復爲司業。至治元年，拜太史院使。泰定二年九月以本官宣撫江西、福建還京復爲太史院使。天曆二年九月卒。 《授時曆》行五十年，未嘗推考。履謙日測晷景，並晨昏五星宿度。自至治三年冬至至泰定二年夏至，天道加時真數，各減現行曆書二刻。著《二至晷景考》二卷。《授時曆》雖有經串，而經以著定法串以紀成數，然求其法之所以然，數之所從出，則略而不載。作《經串演譔八法》一卷。至順三年五月，贈翰林學士、資善大夫、上護軍，追封汝南郡公，謚文懿。《元史》本傳。