《疇人傳》

元五 趙友欽 趙友欽，一曰名敬，一曰名友某，字子恭，一曰字子公，一曰字敬夫。鄱陽人，一曰饒之德興人，弗能詳也。世稱緣督先生宋宗宗之子。著《革象新書》五卷。 其《天道左旋》篇，言古人仰觀天象，知星移鬥轉，漸漸不同。然其旋轉有甚窄者，以衡管窺之，有一星旋轉最密，名曰紐星，即紐星旋轉之所，名曰北極。復觀南天，比東西星宿旋轉不甚遠。由是而推，乃是南北俱各有極。北極雖然旋轉，常在於天；南極雖然旋轉，不出於地，則知地在天內。天如蹴球，內盛半球之水水上浮一木板，比似人間地平。板上雜置細微之物，比如萬類。蹴球雖圓轉不已，板上之物俱不知覺。 其《日至之景》篇，言古者見天暑而日高，天寒而日低，遂立表木以測其長短之景以中晝表景極短之日爲夏至中晝表景極長之日爲冬至。 其《歲序終始》篇，言古人以冬至爲第一日，逐日記之。第三百六十六日，中晝景復最長，是爲次年冬至。四期之日，滿一千四百六十一。每年三百六十五日有餘積。四年之餘積多一日。將一日分與四年，每年得四分之一也。 其《閏定四時》篇，言古人測驗得月圓一次二十九日有餘，十九年月圓二百三十五次。十九年之內中氣有二百二十八，若一朔之內置一中氣，則七朔無中氣者是閏。古人以十九年爲一章。初年甲子日子時朔旦冬至。歲次甲子謂之至朔。同日第七十七年至朔，又復同日。遂以七十六年名一蔀，二十蔀名曰一紀。總一千五百二十年必然至朔，同於甲子日之先期夜半，但非甲子歲首。總三紀積四千五百六十年至朔同於甲子日之先期夜半，又在甲子歲首總會如初，名曰一元也。 其《天周歲終》篇，言每年三百六十五日餘四分一，故亦以周天分三百六十五度餘四之一。太陽一日行一度分寸丈尺引，名曰五度分天。爲度者亦是度量之義，似乎乙太陽爲尺，其一度即日圓之徑數也。十九年爲一章之內太陽一十九周，太陰二百五十四周。于月周之數，減去日周，則爲二百三十五朔。十九日之內，太陽行十九度，太陰行二百五十四度。以二百五十四均於十九，則知太陰每日行十三度餘十九之七每年行十三周十九之七。每日太陰遠太陽十二度十九之七，每年太陰太陽十二周餘十九之七。故每年之日月，合十二朔餘十九之七爲閏，積十九年七閏也。 其《術法改革》篇，言術法累改，由古及今六十餘術矣。漢太初粗爲可取，然猶疎略未密。唐一行作大衍術，當時以爲密矣，以今觀之，猶自甚疎。蓋歲淺則差少未覺久而積差漸多不容不改。要當隨時測驗以求天數之真。 其《星分棋布》篇，言周天三百六十五度餘四之一度，度皆輻湊於南北極，如是則其度斂尖於兩端，最廣處在於腰圍，名曰赤道。各度皆二十八宿。距星紀數謂之經度。東西分經，則南北亦當分緯。緯度皆以北極相去遠近爲數。天頂名曰嵩高，北極偏于嵩高而北者五十五度有奇，赤道則斜倚在嵩高之南三十六度。 其《日道歲差》篇，言統天術謂周天赤道三百六十五度二十五分七十五秒，周歲三百六十五日二十四分二十五秒百年差一度半。然又謂周歲漸漸不同上古歲策多，後世歲策少。如此則上古歲差少，後世歲差多。當今術法倣之，立加減歲策之法。上考往古，百年加一秒；下驗將來，百年減一秒。 其《黃道損益》篇，言二至之日，黃道平其度斂狹，每度約得十之九二分，斜行赤道之交，每度十有一矣。今之授時術步得冬至日躔箕宿，以此寅申度數最少巳亥度數最多其餘則多寡稍近。 其《精年日法》篇，言前代造術者，逆求往古曰上元。求其積年總會，是以必立日法。然有所謂截元術，但將推步定數爲順算逆考，不求其齊。當今授時術，采舊術截元之術，凡積年日法皆所不取。 其《元會運世》篇，言近世康節先生作《皇極經世書》，以十二萬九千六百年爲宇宙之終始，世人多信其説。以愚觀之，實不可準。 其《氣朔沒滅》篇，言術家算沒滅二日，唐一行以前其術不同，今載於授時術者，乃倣一行而爲之也。沒用氣盈而推，滅用朔虛而求，沒滅乃已極之義也，故選日者或忌之。 其《日月盈縮》篇，言月行十三度餘十九之七，然或先期，或後期，有差至四五度者。後漢劉洪始考究之，知月有盈縮。隋之劉焯，始覺太陽亦有盈縮，最多之時在於春秋二分，均差兩度有餘。李淳風有推步月孛法，謂六十二日行七度，六十二年七周天。所謂孛者，乃彗星之一種光芒偏掃者，則謂之彗；光芒四出，如圓渾者，乃謂之孛。然孛以月爲名者，孛之所在，太陰所行最遲，太陰在孛星對衝處，則所行最疾，孛星不常見，止乙太陰所行最遲處測之。 其《月有九道》篇，言月行出入黃道之內外，遠於黃道處六度二分。月道與黃道相交處，在二交之始，名曰羅睺；交之中，名曰計都。自交初至於交中，月在黃道外，名曰陽限；自交中至於交初，月在黃道內，名曰陰限。所謂九行者，當以畫圖比之。四圖各畫黃道，似一圓環，俱于環南定爲夏至，環北定爲冬至，環西定爲春分，環東定爲秋分。將一圖畫爲青道與黃道，交于南北，南交爲羅，北交爲計。其青道一邊入在黃道西之東，是內青道；一邊出在黃道東之東，是外青道。又將一圖畫白道，亦與黃道交于南北，南交爲計，北交爲羅。其白道一邊入在黃道東之西，是內白道；一邊出在黃道西之西，是外白道。又將一圖畫朱道，與黃道交於東西，東交爲計，西交爲羅。其朱道一邊入黃道北之南，是內朱道；一邊出在黃道南之南，是外朱道。又將一圖畫黑道，亦與黃道交於東西，東交爲羅，西交爲計。其黑道一邊入在黃道南之北，是內黑道；一邊出在黃道北之北是外黑道。此雖畫四圖，然四圖之八道止是一道觀者當以意會。本八道而曰九行者，以八道之行交於黃道故通以九言也。八道常變易，不可置於渾儀上亦不得畫於星圖。所可具者黃赤二道耳，欲別於黃，故塗以赤。赤道近八道，皆相交遠近。朱道止十八度遠，黑道至十三度遠，青白二道，約二十四度遠。 其《時分百刻》篇，言晝夜十二時均分爲百刻。一時有八大刻，二小刻。小刻亦準大刻。一上半時之大刻四：始初初，次初一，次初二，次初三，最後小刻名初四。下半時之大刻亦四：始曰正初次正一次正二，次正三最後小刻，名正四。古術又將二小刻爲始，後卻以大刻繼之者，然不若今術之便於籌策。流俗謂子午卯酉各九刻，餘皆八刻，誠可笑歟。 其《晝夜短長》篇，言春秋壺箭，六七日間增減晝夜一刻。苦二至前後其增減一刻，相去二十餘日矣。冬夏增減遲，春秋增減速。考於渾儀，即可以知其理。 其《氣積寒暑》篇，言夏至午中，冬至子中。然大暑在六月未中，大寒在十二月醜中者，此蓋甑竃之理也。竈火甚炎可比午中然甑蒸之氣，猶未甚盛，及氣盛則火已稍衰。在後竈火盡滅，可比子中，然甑蒸之氣，又良久而後始衰。寒暑之理，豈非積久而氣盛乎？ 其《天地正中》篇，言天體如彈丸，周圍上下相距正等，名曰天中。地平不當天半，地上天多，地下天少。從地平直上，自有天中之所。古人卻謂地平正當天半。天中者蓋爲仰視常有一半星宿可見，故以地平就爲天中。今謂地中直上自有天中之所者，蓋見日月近大遠小，星度之高密低疏，所以知其然也。昔人以五表求地中，以今思之，止須一表。其表與人齊，高於午日中，畫其短景於地，用爲指北準繩。卻置窺筒於表首，隨準繩以望北極，若北極在筒心者，此處得東西之正，如見北極之東者，則是其地偏東。見北極之西者，則是其地偏西。已得東西之正，然後於二分之前十餘日內，就此處置立壺漏，準定十二時之端的，須以兩日午日短景求與時參合。卻于春分前二日，或秋分後二日，太陽正當赤道時，於卯酉中刻視其表景，畫地而定東西準繩。若卯酉兩景相直，是得南北正中矣。若兩景曲而向南者，則其地偏南，向北者則其地偏北。 其《地域遠近》篇，言陽城仰觀，北極出地三十六度，南極入地亦三十六度。迆邐朔方而望之，出入之度漸多，遂見北極出地四十五度。錢塘望之出入之度三十一。交廣以南，其度不及二十。南極二十度已下其星猶多中國不可見迨今未有名。地域遠近非特仰觀不同，寒暑晝夜表景亦皆差別。偏南者暑多寒少，偏北者暑少寒多。朔方最遠之地，或煮羊胛未熟而天曉，或當午而纔方見日，出沒止在須臾。古者立八尺之表，以驗四時日景。地中夏至景在表北一尺六寸冬至景在表北一丈三尺。南至交廣，北至銕勒等處，驗之俱各不同。表高八尺，似失之短。至元以來，表長四丈，誠萬古之定法也。所謂土圭者，自古有之。然地上天多早晚，太陽與人相近，則景移必疾；日午與人相遠，則景移必遲。世間土圭均畫而已，豈免午侵巳未而早晚時刻俱差，地中差已如是。若于八方偏地驗之，土圭之不可準，尤爲顯然。偏東者早景疾而晚景遲，午景先至。偏西者早景遲而晚景疾，午景後期。偏北者少其畫而景遲，偏南者多其畫而景疾。若南越短景南指，而子午反復，則又訛逆甚矣。 其《月體半明》篇，言以黑漆球映日，則其球必有光，可以轉射暗壁。太陰圓體，即黑漆毬也。日月對望，爲地所隔。猶能受日之光者蓋陰陽精氣隔礙潛通，如吸鐵之石，感霜之鐘，理不難曉。日月不全瑩而似瑕，映於內者如明鏡，映水之處則瑩，照地之處則瑕，以爲山河所印之景者，是也。 其《日月薄食》篇，言日之圓體大，月之圓體小日道之周圍亦大月道之周圍亦小；日道距天較近，月道距天較遠。日月之體，與所行之道，雖有少廣之差，然月與人相近，日與人相遠，故月體因近視而可比日體之大，月道因近視而可比日道之廣。日食月食，當以天度經緯而推。同經不同緯，止曰合朔；同經同緯，合朔而有食矣。人觀望日體，見爲月之黑體所障，故雲日食。然日體未嘗有損，所謂食者，強名而已。日月對躔而望，若不當二交前後則不食。望在二交前後則必食。或既或不既，當以距交遠近而推。若相對於二交限內，對經而對緯，至甚的切，所受日光，傷于太盛。陽極反亢，以致月體黑暗，如染紅濃厚，反成紫黑也。日月之圓徑相倍，日徑一度，月徑止得日徑之半。然在於近視，亦準一度。是猶省秤比於複秤，斤兩雖同，其實則有輕重之異。日之圓徑倍於月則闇虛之圓徑亦倍於月，月既準一度，則闇虛廣二度矣。月食分數，止以距交遠近而論，別無四時加減，八方所見食分並同。日食則不然。舊曆雲假令中國食既，戴日之下，所虧纔半，化外反觀，則交而不食。何以言之？日月如大小二球共懸一索，日上月下，相去稍遠，人在其下正望之，則墨毬遮盡赤毬。比若食既，傍視而分遠近之差，即食數有多寡也。 其《目輪分視》篇，言物小而近，蔽遠則多，立步小移，所障迥別。夫日月之行，道於列宿，雖似依躔，相去懸遠。測望之所不同，見其少廣亦異。今以畫圖喻之，畫一車輪，周圍輻輳，比三百六十餘度，輪圍比天之宿躔，轂竅比六合之中。以黃紙翦爲日體，黑紙翦爲月體，日大月小，圍徑相倍於輻度，內置日月同躔。月近轂中日近輪圍。然近中處度狹，近圍處度廣。日月雖大小不同俱占一度。然後量日月距緯之數，以黃色畫日道，黑色畫月道，止畫一綫之周，各取日月體心爲距數。別將薄紙又畫一大輪，與先畫輪圖周徑相倍，曰眼輪。其轂竅以比測望眼目將薄紙之轂加於先畫之轂，即是眼瞳在六合之中。今地平不當天半，地上天多，地下天少。須當移眼輪圖放低，比似眼在地平。此不特比望各宿經度，亦可比望去極緯度。 其《五緯距合》篇，言古者止知五緯距度，未知有變數之加減。北齊張子信仰觀歲久，知五緯又有盈縮之變，當加減常數，以求其逐日之躔。所以然者，蓋五緯不由黃道，亦不由月之九道，乃出入黃道內外各自有其道。視太陽遠近而遲疾者，如足力之勤倦。又有變數之加減者，比如路裡之徑直斜曲。 其《蓋天舛理》篇，言蓋天之説，以天愈低而愈遠。今北極近南則高而小，近北則低而大。由是觀之，北極之北，天雖愈低，卻與中國相近。如此則蓋天之謬明矣。 其《渾儀制度》篇，言渾天之儀有三：一曰六合儀，一曰三辰儀，一曰四遊儀，共爲一器。 其《經星定躔》篇，言黃道因歲差逐年改異宜先測赤道以分天體，但地平不當天半，渾儀不可以測術。於地中置立壺箭刻漏，箭分一百四十六畫半，一晝夜之間，其箭浮沈各五十次，天運一度，則箭之浮沈移四十畫。別置一木架，四柱而中空，不拘大小高低，內容一人坐立架上。平放長木兩條其長與架相稱，高五寸許闊二寸許。各鑿水溝。試令平正兩木之間，留一長罅，其闊不及半寸約三四分，首尾橫狹，均亭直指子午中向。人於架內窺測，其眼須當低罅一尺有餘，否則所望不定。若於長木之上，以板加之令高則不必低罅一尺矣。觀象者候視各宿來當罅中，隨即聲説，看箭者言其箭畫數目，秉筆者記之。須當再驗三四夜以審訂焉。 其《橫度去極》篇，言渾儀亦不可測橫度，今亦別立測橫度法。其法於露地鑿爲方穴，正向子午，傍挾卯酉，以四柱木架置於穴中，高出地平數寸許。方廣稱穴架內可容坐立尺寸不拘。其穴口之南樹一長木與架相遠丈餘高七尺許。其架之上作十字之交。但十字之木不向子午卯酉乃斜指四維而各構於柱。正交之心，樹立一表，約高六尺。作竅於表首，可通琴綫，令綫無澀滯。其竅向南之下二尺許，別鑿一方竅。將平木一條於穴內，毋令突露竅北。其平木約厚二寸許闊四寸許長出竅南一丈穩附于架南所樹之木。平木正指子午之中，上鑿水溝，以試平正。于平木左邊，均畫九十一度有奇，乃周天四分之一。以一寸準爲一度。又于平木之上一寸許，再構平木一條，與在下之平木不異。但在上之畫處，作通竅可容銕箸，在下之畫處，止作淺竅以承銕箸。銕箸長二尺許，箸首大竅，似乎大針之狀，插在平木最南之畫竅。箸竅繫以琴綫，穿從表竅過。北有窺筒，約長五尺以上，有尾，各有一環。下環在筒尾之上側數寸許，繫於表根。上環繫於琴綫窺筒直倚表北，琴綫長短稱之。一人在架外地上，而漸移銕箸。移畫竅而北，竅筒之首漸移。然恐東西搖曳不定，當釘兩木於表側以夾之。銕箸逐畫北移，則可以測衆星所在之度。測者聲説，屋下之人書記之。 其《占景知交》篇，言置一表，約高四丈。表首置圓物，狀如燈毬，不可透明，亦不可小。小則景淡，大卻不妨。表下以石灰塗之令白，以黑畫方眼，若棋枰，眼方一寸。於是推測四時、日景、九道、月景于棋枰方上。考究東西南北遲疾之差，則可推日月兩景相犯，求其日食分並、虧圓時刻、起復方位。 其《偏遠準則》篇，言地偏南北者，則卯酉表景不相直，地偏東西者，則子午兩嚮不相直。求地偏東西之數，則置刻漏，準取昏曉，折中取爲夜半。置測經度之木架罅，指偏午於此夜半，仰望中星，以較地中夜半中星，則知地偏東西之度數。若求地偏南北之數但論罅內所見天脊緯度取其距北極之數計之。 其《小罅光景》篇，言室有小罅，雖不皆圓，而罅景所射，未有不圓。及至日食，則罅景亦如所食分數。罅雖寬窄不同，景卻周徑相等，但寬者濃而窄者淡，若以物障其所射之處，迎奪此景於所障物上，則此景較狹而加濃。予始未悟其理，因熟思之。凡大罅有景，必隨其罅之方圓長短尖斜而不別，乃因罅大而可容日月之體也。若罅小，則不足容日月之體，是以隨日月之形而皆圓，及其缺則皆缺。罅漸窄則景漸淡。景漸遠，則周徑漸廣而愈加淡。大罅之景漸遠亦漸廣然不減其濃。此則濃淡之別也。假於兩樓下各穿圓穽，徑皆四尺餘，右穽深四尺，左穽深八尺。置案于左穽，案高四尺，則雖深八尺，只如右穽之淺。作兩圓板，徑廣四尺，俱以蠟燭千餘枚密插於上而燃之。更作兩圓板，置穽口，板心開方竅，左方寸許，右方半寸許。於是觀其樓板之下有二圓景，周徑所較不多，卻有一濃一淡。詳察其理千燭自有千景其景皆隨小竅點點而方。燭在穽心者方景直射樓板之中；在南邊者，方景斜射樓板之北：在北邊者，方景斜射樓板南。東西亦然。其四旁之景，斜射而不直者，緣四旁直上之光，礙而不得出，惟有斜穿出竅。穽內既已斜穿竅外止得偏射。偏中之景千數交錯。周徧疊砌，則總成一景而圓。所以有濃淡之殊者，蓋兩處皆千景疊砌。圓徑若無廣狹之分，但見其竅寬者，所容之光較多，乃千景皆廣，而疊砌稠厚，所以濃：竅窄者，所容之光較少，乃千景皆狹，而疊砌稀薄，所以淡。於是向右穽東邊，減卻五百燭，觀其右間樓板之景，缺其半於西。又減左穽之燭，但明二三十枝，其景雖亦周圍佈置，各自點點爲方，不相粘附矣。又但明一燭，則只有一景，而方緣竅小，而光形尤小。竅內可以容盡其光，卻爲大景隨空罅之象矣。若依舊燃左穽之燭，別將廣大之板二片，以障樓板，而迎奪其景，此景較於樓板者漸狹而加濃。於是去左穽之內桌案，燃燭置於穽底，竅既遠于燭，景則斂而狹。由是察之，燭也，光也，竅也，景也，四者消長勝負皆所當論者也。 其《句股測天》篇，言測三辰之高，必須兩表相距數百里，否則不覺其景差。裡之爲數，長三百步，每步之長，伸手一度也。浙尺約六，淮尺約五。世間裡路迢遙，難取徑直，既然地上量之不直，豈能推其三辰高遠？是以古人測景，千里一寸之差，猶未親切。姑以其術言之。古人製表未精，今別定表之制度，並述元有演算法。就地中各去南北數百里，仍不偏於東西，俱立一表，約高四丈。於表首下數寸，作一方竅，外廣而內狹，當中薄如連邊，兩旁如側置漏底之盌，形圓而竅方。以南北表景之數相減，餘名景差。兩表相距裡路，各乘南北表景，各如景差而一，即得二表，各與戴日之地相距。數日平遠，各以表景加之，所得各以表高乘之，各如表景而一即得日輪頂與戴日地相距數。以南北表景各加平遠所得自乘，名句冪。日高，自乘，名股冪。兩冪相並，名弦冪。開爲平方，名曰日遠，乃南北表竅之景距日斜遠也。 其《乾象周髀》篇，言古人謂圓徑一尺，周圍三尺。後世考究則不然，圓一而週三，則尚有餘；圍三而徑一，則爲不足。蓋圍三徑一，是六角之田也。或謂圓徑一尺，周圍三尺一寸四分。或謂圓徑七尺，周圍二十二尺。或謂圓徑一百一十三，周圍三百五十五。徑一而週三十四，猶自徑多圍少。徑七而週二十二卻是徑少周多。徑一百一十三週三百五十五，最爲精密。其考究之術畫百眼茶盤，一眼廣一寸。方圖之內，畫爲圓圖，徑十寸。圓內又畫小方圖。小方以算術展爲圓象自四角之方，添爲八角。曲圓爲第一次，若第二次則爲曲十六第三次則爲曲三十二，第四次則爲曲六十四。凡多一次，其曲必倍。至十二次，則其爲曲一萬六千三百八十四。其初之小方漸加漸展，漸滿漸實，角數愈多，而其爲方者不復方而變爲圓矣。今先以第一次言之。內方之弦十寸，名大弦。自乘得一百寸，名大弦冪。內方之句冪五十寸，名第一次大句冪。以第一次大句冪減其大弦冪，餘五十寸，名大股冪。開方得七寸七釐一毫有奇，名第一次大股。以第一次大股減其大弦，餘二寸九分二釐八毫有奇，名第一較。折半得一寸四分六釐四毫有奇，名第一次小句。此小句之數，乃內方之四邊，與圓圍最相遠處也。以第一次小句自乘，得二寸一分四釐四毫有奇，名第一次小句冪。以第一次大句冪折半得二十五寸，又折半得十二寸五分，名第一次小股冪。並第一次小句冪，得一十四寸六分四釐四毫有奇，名第一次小弦冪。開方得三寸八分二釐六毫有奇，名第一次小弦。即是八曲之一八，乘第一次小弦，得三十寸六分一釐有奇，即是八曲之周圍也。此以小數求之，不若改爲大數。將大弦改爲一千寸，然後依法而求。若求第二次者，以第一次小弦冪就，名第二次大句冪。以第一次大股冪減其大弦冪，餘爲第二次大股冪。開方爲第二次大股，以減其大弦，餘爲第二較。折半名二次小句，此小句之數，即是八曲之邊與圓圍最相遠處也。以第二次小句自乘，名第二次小句冪。以第二次大句冪兩折，名第二次小股冪。以第二次小股冪，並第二次小句冪，名第二次小弦冪。開方爲第二次小弦，即是十六曲之一。以十六乘第二小弦，即是十六曲之周圍也。以第二次倣第一次，若至十二次，亦遞次相倣，置第十二次之小弦，以第十二次之曲數一萬六千三百八十四乘之，得三千一百四十一寸五分九釐二毫有奇，即是千寸徑之周圍也。以一百一十三乘之，果得三百五十五。故言其法精密。要之方爲數之始，圓爲數之終。圓始于方，方終於圓。周髀之術，無出於此矣。又有《天文圖説》一篇，文不具。 友欽卒，葬於龍遊之鷄鳴山。龍遊失暉，字德明。從友欽游，受《革象新書》。暉歿，其門人章濬徵宋濂序而刻之。《革象新書》。 論曰：步算之書，苦於難讀。友欽罕譬曲喻，出以平易，其津逮來學之心至矣。《小隙光景》、《乾象周髀》諸篇，尤有深得。惟以地平不當天半，地上天多地下天少，此則友欽之新説，於理不然也。 賈亨 賈亨，字季通長沙人也。著《演算法全能集》二卷。《演算法全能集》。論曰《也是園藏書目》載亨是書作六卷。余所藏止二卷書中有珠算歌訣，則其人當在元以後矣。未審其詳，故附於此。