《疇人傳》

明二 唐順之 唐順之，字應德，號荊川，武進人也。嘉靖八年會試第一，官至右都禦史通知回回術法精於弧矢割圜之術。嘗著《句股測望論》其略雲句股所謂矩也。古人執數寸之矩而日月之運行朓朒遲速之變山谿之高深廣遠凡目力所及無不可知蓋不能逃於數也。句股之橫爲句縱爲股斜爲弦。蓋一弦實藏一句一股之數一句一股之數並得一弦數也。數非兩不可行因句股而得弦因股弦而得句因句弦而得股。三者之中其兩者顯而可知其一者藏而不可知，因兩以得三此句股法之可通者也。三者缺其二數不可起而句股之法窮矣。於是有立表之法蓋以小句股求大句股也句、股、弦三者有一可知則立表之法可得而用若句、股、弦三者無一可知，而立表之法又窮矣。於是有重表之法蓋立表者以通句股之窮也。重表者以通一表之窮也。其實重表一表也一表句股也，無二法也。 又有《句股容方圓論》，略雲：凡奇零不齊之數準之於齊圓準之于方不齊之圓準於齊之圓不齊之方準于齊之方句股容圓準于句股容方。如均齊無較之句股其容方適得句之一半若長短不齊之句股則容方以漸而闊不止於半句矣。須變長爲闊以取容方之數。取容圓之徑則用句股相乘而倍其數以句股、弦並爲法而得數也。 又《孤矢論》略雲：凡弧矢演算法，準之於矢，而參之於徑。背徑求矢之法先求之背弦差而半背弦差藏之矢冪與徑相除之中倍矢冪與徑相除則全背弦差也。半法簡捷故用其半無論背徑求矢矢背求徑，消息管於是矣。夫積也矢也徑也弦也背也殘周也差也凡七者轉相爲法而轉相求共得三百二十六法而後盡。渾然一圓圈，而中會錯綜變化，乃至於此。嗚呼豈非所謂至妙至妙者哉！ 又論差分方程盈縮粟米總是一分法也。差分方程者因物之參伍而推出價之貴賤，有定式而不可亂也。差分方程之所不能盡，於是有盈縮。盈縮因其外露畸零可見之數，而推知其中藏隱雜不可見之數以據末而窺全錐也。蓋差分以價權物，露價而混物，故以物相轄；方程以物權價露物而混價故以物相參，而盈縮通乎其間矣。至於物以多而易寡，價有以貴而易賤於是有粟米。則乘除互換之間，而多遂與寡相當，賤遂與貴相當而其數齊矣。又謂數有繁而從簡，亦有以少而合多，而數之有分者不可以常法約，於是有約分之法有合分課分之法。觀其所總，而聚散著矣觀其所餘而多寡著矣。《算經》曰：「學者不患乘除之爲難而患分法之爲難必精於無分之乘除而後能通於有分之乘除非二致也，法有淺深而已矣。」三十九年卒，年五十四。崇禎中，追謚襄文。《明史》本傳、《荊川文集》。 論曰：順之習回回法，而不知最高，讀《測圜海鏡》而不知立天元術，凡所論述，亦祇得其淺焉者耳。然明季士大夫，率以空疏相尚。順之以句股弧矢表率後賢一綫之傳終於不墜其功固有足多者矣。 顧應祥 顧應祥，號箬溪道人，湖州長興人也。嘉靖間，巡撫雲南遷刑部尚書。著《測圜海鏡分類釋術》十卷。其序曰：「天地之所以神變化而生萬物者，陰陽而已。一陰一陽交互錯綜而變化無窮焉。聖人因其交互錯綜之不齊，而置爲數術以測之於是乎天地之高深日月之出沒鬼神之幽秘皆可得而知之矣。然數之爲術雖千變萬化之不同而其要不過一開闔而已。開者除也，闔者乘也而又有以形求積、以積求形之異。古之爲數者有九九者其用也。是故用之以貿易則爲粟米；用之以分別差等較量遠近，則爲差分，爲均輸；因其末而欲知其本爲盈朒彼此互見則爲方程。若夫以形求積則方田商功之類是也以積求形則少廣句股之類是也。以形求積者先得其形而後求其積故其爲術也易。以積求形者則先得其積而後求其長短廣狹斜正之形。有非乘除所能盡者故必以商除之。然而商除亦不能盡也而又立正負廉隅之法，以增損附益之故其爲術也難。餘自幼好習數學晚得荊川唐太史所録《測圜海鏡》一書乃元翰林學士欒城李公冶所著雖專主于求容圓求方一術然其中間如平方、立方、三乘方帶縱、減縱益廉、減廉正隅、負隅諸法凡所謂以積求形者皆盡之矣。但其每條下細草雖徑立天元一反覆合之而無下手之術使後學之士茫然無門路之可入。輒不自揆每章去其細草立一算術又以其所立通句邊股之屬各以類分之語義稍繁者略加芟損名曰《測圜海鏡分類釋術》。非敢僭改前賢著述惟以便下學雲爾。今夫世之論數者俱視爲末藝故高明者不屑爲之而執泥者遂以爲占驗之法雖欒城公自序亦以爲九九賤伎。殊不知君子之學自性命道德之外皆蓺也。與其徒費精神於佔畢之間又不若留情於此不惟可以取樂，亦足以爲養心之助焉。後之有同此好者當以餘言爲然否耶？」 又著《測圜算術》四卷。序曰：「句股求容圓之徑古有其法未有若元翰林學士欒城李先生之精且密者也。其所著《測圜海鏡》設爲天地日月山川東西南北乾坤艮巽名號，而以通句股、邊句股、底句股等錯綜而求之極爲明備但每條細草止以天元一立算而漫無下手之處應祥已爲之類釋。既而思之猶有未當於心者。蓋圓之內外其橫者爲句其直者爲股一橫一直，或兩橫兩直相夾，或一橫一斜、一直一斜自有天然對待之妙比而合之皆可推類而知者。於是別出己見復爲編次其難曉者附以布算之法。名號雖仍舊，而詞則務簡而明庶使學者一覽而可得其要領焉耳。若諸和諸較雜揉之分似涉繁冗故俱不録非略之也測圓之法止於是足矣。」 其《句股求容方圓論説》曰：句股求容方，其法雖取則于整方，而實與整方不同。整方者譬如句五股五則方積二十有五。從兩角斜分爲二以求其斜中之所容之方則以句股和十爲法除之其容方之徑恰得方徑之半容方之積恰得方積四分之一。若句股容方則句短而股長。以句乘股乃一長方積。以句除之得股是以廣而求縱也。以股除之得句是以縱而求廣也。以句股和爲法，以求容方徑，是廣縱相並爲股以求句也。長方積內原無一句之數，於是截其橫之一邊以補之而所得容方之徑大率止在半句已上而容方之積則隨其句股之長短以爲多寡不可以四分之一例之矣。然長方積乃兩句股相並一正倒。以一句股求容方積與虛句股所容直方之積則隨其長短闊狹而未嘗不同也。譬如句六尺股十二尺其積七十有二。以句股和一十八除之得容方徑四尺其積十六。虛句股內所容之直積長八尺闊二尺亦十六也。又如句四尺股六尺其積二十四。以句股和除之容方徑二尺四寸積五尺七寸六分。虛句股內所容直積長三尺六寸闊一尺六寸亦是五尺七寸六分。故曰未嘗不同也。若夫句股容圓則又與句股容方不同。圓之形依弦而爲大小而其徑與弦和較同數。故立法以句股相乘倍之爲實。以弦和和爲法除之得弦和較。弦和較即圓徑也。若以弦和較爲法除之即得弦和和矣。倍其積者何也？蓋句股和共爲一長股弦爲一短股所求之弦和較猶夫句也。以兩直除一積，以求一橫故不得不倍其實也。若如算梯田之法，以兩直相並，折半以爲法，則亦不必倍積尤爲簡易。此又前人未發之論也。大抵方五斜七圍三徑一之説止是論其大較。其實方五則斜七有奇徑一則圍三有奇。故測圓者不能以方爲圓而以句股測之。至於句股容方，不藉於弦，句股容圓，必待弦數定而後可也，學者不可不知。 又著《句股算術》一卷。序曰：「九數之中，惟句股一法：幽深玄遠，近世習算之士，得其肯綮者絶少。應祥自幼性好數學，然無師傳，每得諸家算書，輒中夜思索，至於不寐。久之若有神告之者遂盡得其術。既而又得《周髀》及《四元玉鑑》諸書。於是所謂句股弦和較黃中之説開闔折變悉得古人立法之旨求之於心無不吻合。蓋有不假於思索者恐其久而忘也政務之暇，手録其詳節各爲問答一二章附之名曰《句股算術》。俾後之學算者因此求之，庶有以得其要領雲。」 其《句股論説》曰：句股之法，橫曰句，直曰股，斜之爲弦。句股相減其差曰較。句股相並曰和。股弦之差曰股弦較。句弦之差曰句弦較。並句股與弦相減之差則曰弦和較。弦與句股之差相減其差曰弦較。較股弦相並則曰股弦和。句弦相並曰句弦和。句股之差並弦則曰弦較和。句股弦並曰弦和和句股各自乘並爲弦實平方開之得弦。句弦各自乘相減餘爲股實平方開之得股。股弦各自乘相減餘爲句實平方開之得句。倍弦實減句股和自乘開其餘得句股較。減句股較自乘開其餘得句股和。並句弦以除股實得句弦較。句股之差除股實得句弦和。並股弦以除句實得股弦較。股弦之差除句實得股弦和。句股和自乘減弦實弦較較除之得弦較和絃較和除之，得弦較較。句股之差自乘以減弦實弦和和除之得弦和較。弦和較除之得弦和和。以句乘股爲實並句股爲法實如法而一句股之容方也。以句乘股，倍之爲實。句股與弦並之爲法。實如法而一句股容圓之徑也。容圓之徑即弦和較也。若錯綜爲用句加股弦較即弦較較。減股弦較即弦和較。加弦較和即股弦和。股加句弦較即弦較和。減句弦較即弦和較。加弦較較即句弦和。句股較加股弦較，即句弦較。減股弦和即句弦和。句股和加股弦較，即句弦和。減股弦和即句弦較。句股較加句股和，半之爲股。減句股和半之爲句。股弦較加股弦和半之爲弦。減股弦和半之爲股。句弦較加句弦和半之爲弦。減句弦和半之爲句。弦和較加弦和和，半之爲和。減弦和和半之爲弦。弦較較加弦較和半之爲弦。減弦較和半之爲較。變而通之神而明之存乎其人焉。 又著《弧矢算術》一卷。序曰：「弧矢一術古今演算法所載者絶少。錢唐吳信民《九章演算法》，止載一條。《四元玉鑑》所載數條，皆不言其所以然之故。沈存中《夢溪筆談》有割圓之法雖自謂造微然止於徑矢求弦而於弧背求矢、截積求矢諸法俱未備。予每病之。南曹訟牒頗暇乃取諸家算書間附己意各立一法名曰《弧矢算術》藏諸篋笥俟高明之士取正焉未敢謂盡得其閫奧也。」 其《弧矢論説》曰：弧矢者，割圓之法也。割平圓之旁，狀若弧矢，故謂之弧矢。其背曲曰弧背其弦直曰弧弦其中衡曰矢而皆取法於徑。徑也者，平圓中心之徑也。背有曲直弦有修短係於圓之大小。圓大則徑長圓小則徑短。非徑無以定之故曰取則於徑而其法不出於句股開方之術。以矢求弦則以半徑爲弦半徑減矢爲股股弦各自乘相減餘爲實平方開之得句。句即半截弦也。以弦求矢，亦以半徑爲弦，半截弦爲句，句弦各自乘相減，餘爲實，平方開之得股。股乃半徑減矢之餘也。以減半徑即矢或以矢減全徑爲句股和以矢爲句股較乘之亦得句畀即半截弦㫒也。矢自乘圓徑除之得半背弦差倍以加弦即弧背。以半背弦差除矢㫒亦得圓徑半截弦自乘爲實以矢除之得矢徑差。加矢即圓徑。以矢加弦以矢乘而半之即所截之積也。倍截積以矢除之減矢即弦倍截積以弦爲從方開之即矢。惟弧背與徑求矢截積與徑求矢開方不能盡用三乘方法開之。弧背求矢以半弧背㫒與徑㫒相乘爲實。徑乘徑畀爲從方徑㫒爲上廉。全背與徑相乘爲下廉約矢乘上廉以減從方以矢自乘以減下廉。又以矢乘餘下廉與減餘從方爲法。除實得矢曷爲以矢乘上廉減從方也。蓋從方乃徑與徑㫒相乘。其中多一矢乘徑畀之數故減之。曷爲又以矢自乘以減下廉也？下廉乃背徑相乘其中多一矢自乘之數故亦減之減之則法與實相合矣。以截積求矢則倍積自乘爲實。四因積爲上廉四因徑爲下廉。五爲負隅約矢以隅因之以減下廉。又以矢一度乘上廉兩度乘下廉並而爲法。矢減下廉者，何也？矢本減徑而得故減徑以求之。五爲負隅者，何也？凡以方爲圓，每一寸得虛隅二分五釐。四其虛隅與四其矢合而爲五也。四其廉者何也？倍積則乘出之數爲積者四故亦四其廉以就之升法以就實也。若以截弦與截餘外周求矢則以弦㫒半弦畀相乘四而三之爲實並弦及餘周爲益方。半弦乘弦加弦畀爲從上廉並廉及餘周爲下廉，以約出之矢乘上廉。又以矢自乘，再乘爲隅法。並上廉以減益方，矢自之以乘下廉，並減餘從方爲法，除實得矢。 其《方圓論説》曰：世之習算者，咸以方五斜七圍三徑一爲準，殊不知方五則斜七有奇，徑一則圍三有奇。故古人立法有句三股四弦五之論而不能使方斜爲一定之法。有割圓矢弦之論，而不能使方圓爲一定之法。試以句股法求之。句股各自乘，並爲弦實平方開之。此施之于長直方則可若一整方，句五股五各自乘並得五十平方開之得七而又多一算矣。割圓之法求矢求弦固是，至於求弧背，則恐未盡也。何以知之？試以平圓徑十寸者例之。中心剖開矢闊五寸自乘得二十五寸。以徑除之得二寸五分爲半背弦差。倍之得五寸以加弦，得一十五寸。與圍三徑一之論正合。然徑一則圍三有奇奇數則不能盡矣。以是知弧背之説猶未盡也。不特是也。凡平圓一十二立圓三十六，皆不過取其大較耳。或曰密率徑七則圍二十二，徽率徑五十，則圍一百五十七。何不取二術酌之以立一定之法？曰二術以圓爲方以方爲圓，非不可但其還原與原數不合。數多則散漫難收故算曆者止用徑一圍三亦勢之不得已也。曰曆家以徑一圍三立法則其數似猶未精。然郭守敬之曆至今行之無弊何也？曰曆家以萬分爲度秒以下皆不録縱有小差不出於一度之中。況所謂黃赤道弧背度乃測驗而得止以徑一圍三定其平差立差耳。雖然行之日久安保其不差也？竊嘗思之天地之道陰陽而已。方圓天地也。方象法地靜而有質故可以象數求之。圓象法天，動而無形，故不可以象數求之。方體本靜而中斜者乃動而生陽者也。圓體本動而中心之徑乃靜而根陰者也天外陽而內陰地外陰而內陽。陰陽交錯而萬物化生。其機正在於奇零不齊之處上智不能測巧曆不能盡者也。向使天地之道俱可以限量求之則化機有盡而不能生萬物矣。余因論方圓之法而並著其理如此。 又著《授時曆法撮要》序曰：「自劉歆作三統曆始立積年曆法以爲推步之準。後世因之歷唐而宋更元改法者無慮數十家率皆行之不久即改。惟前元王恂、郭守敬所著《授時曆》專以測驗爲主，較之諸家所譔曆書，特爲精密我國家因之行之二百餘年至今無弊。應祥少好數學嘗取歷代史所載曆志比而觀之未有過於此者。近者或以交食稍有前後輕議改作，可謂不知量矣政務之暇取其節略大較録爲一冊藏之篋笥以爲遊蓺之一助雲爾。」《測圜海鏡》、《分類釋術》、《測圜算術》、《句股算術》、〈弧矢算術》、《授時曆法撮要》。 論曰：略涉九九者，遇三乘方，便望洋驚歎。應祥于廉隅加減之故反覆推之，而無不合其用功亦勤矣。然不解立天元術故於正負開方論説，都不明曉。明代算學陵替習之者鮮。雖好學深思如應祥其所造終未能深入奧室刪去《海鏡細草》一節遂貽千古不知而作之譏，惜哉！ 周述學 周述學，字繼志，號雲淵子，山陰人也。聞郭太史弧矢法以圓求圓循弦宛轉極與天肖名曰《弧矢經》。時武進唐順之博研古算長興顧應祥精演例法欲求弧矢不可得。述學竭其心思譔《補弧矢》。又西域回回經緯術有經緯淩犯之説其立法度數與中法不合名度亦異。順之慨然欲創緯法以會通中西會其卒不果。述學乃譔《中經》用中國之算測西域之占。又推究五緯細行，爲《星道五圖》令七曜皆有道可求以畢順之之意。又與順之詳論歷代史志曆議正其訛舛刪其繁蕪譔《大統萬年二術通議》即《神道大編》中《曆宗通議》也先是有詹希元者以水漏至嚴寒冰凍輒不能行乃以沙代水。然沙行太疾未協天運又於鬥輪之外復加四輪輪皆三十六齒。述學病其竅太小而沙易堙更制爲六輪其五輪三十齒而微裕其竅由是運行始與晷協。述學以布衣終《明史》本傳、《天文志》、《曆宗通議》、《浙江通志》引《徐階、周雲淵傳》。 論曰：唐荊川論回回術言要求盈縮何故減那最高行。只爲歲差積久年年欠下盈縮分數以此補之。而述學則以每日日中晷景爲最高梅徵君斥爲臆説是也。蓋述學於曆法本無所得故所爲《中經》、《通議》亦第抄撮舊文以矜淹博而已，實未見所長也。 陳壤 陳壤，字星川，吳郡人也。乙太一天、地、人三元附合回回術法。嘉靖間，曾上疏改曆，格而未行。《梅氏全書》。 雷宗 雷宗，著《合璧連珠曆法》，亦回回法也。《明史.曆志》。 袁黃 袁黃，字坤儀，號了凡，嘉善人也。神宗丙辰進士，授寶坻縣知縣陞兵部職方主事。師事陳壤著《曆法新書》五卷。鎔回回法入授時術其積年以七千二百五十七萬六千爲三元之總平分天地人三元各得二千四百十九萬二千。自太乙甲子至嘉靖四十三年甲子歷過五千二百九十五萬八百四十已逾天、地二元矣。今當人元內四百五十六萬六千八百四十。歲差之法起於子半虛宿以六十六年零差一度削去最高不用，其周天三百六十度而分秒俱析百分入算。列宿積度起寶缾宮虛六度餘與回回術同。《曆法新書》、《嘉興府志》、《蘇州府志》。 論曰：梅文鼎曰：「了凡《新書》通回回之立成於大統可謂苦心。然竟削去最高之算又直用大統之歲餘而棄授時之消長將逆推數百年已不效況數萬年之久乎？」誠篤論也。 周相 周相，官順天府丞，掌欽天監事。隆慶三年，刊《大統曆法》。其曆原歷敘古今諸術同異，其略曰：粵自伏羲仰觀天象而陰陽著黃帝迎日推策而曆象明堯舜三代以來，其法漸密，備載於傳記，可考也。去古既遠，其法不詳，然原其要不過隨時考驗求合於天而已。周秦之間，閏餘乖次。漢自劉歆造三統曆始立積年曆法，而爲推步之準以一十一萬四千五百一十有一爲積年，黃鍾八十一爲日法。後世因之歷唐而宋。其更元改法者皆有積年日法而行之愈不能久不知順天求合之道故也。其後李梵造四分曆七十餘年而儀式方備。又百三十年劉洪造乾象曆始悟月行有遲疾。又百八十年後秦姚興時、薑岌造三紀甲子曆始以月食衝檢日躔宿度所在。又五十七年宋何承天造元嘉曆始將朔望及上下弦皆定大小餘。又六十五年祖沖之造大明曆始悟太陽有歲差之數極星去不動處一度餘。又五十二年北齊張子信方知日月交道有表裏五星有遲留伏逆。又三十三年劉焯造皇極曆始知日行有盈縮。又三十五年唐傅仁均造戊寅元曆頗采舊儀。高宗時李淳風造麟德曆以古曆章蔀元首分度不齊始爲總法用進朔以避晦日晨月見。又六十三年開元時僧一行造大衍曆始以月朔建爲四大三小。又九十四年穆宗時徐昂造宣明曆方悟日食有氣刻時三差。又二百三十六年徽宗時姚舜輔造紀元曆始悟食甚泛餘差數。又一百七十餘年元郭守敬造授時曆考知七政運行於天進退自有常度專以考測爲主，其前代積年日法，推演附會出於人爲者，一切削去，爲得自然，自古及今其推驗之密，蓋未有出於此者也。我明聖祖高皇帝洪武初年首命監正元統釐正之作《大統曆法》四卷步日躔曰《太陽通軌》步月離曰《太陰通軌》步交食曰《交食通軌》，步五星四餘曰《五星四餘通軌》。至今遵而用之。自至元十八年辛巳爲曆元起至今隆慶己巳通計二百八九十年而今有年遠數盈歲差天度之説，失今不考，其所差必過甚矣。然考究不可以輕議其人不可以易得苟輕舉妄動，吾恐其差愈甚不若仍舊之爲得矣。予承乏備員因習學大統曆法而推原古今曆法如此，蓋繼述舊聞，非敢有所增損也。若夫監正元統所譔《曆法通軌》夏官劉信所編《曆法通徑》苟得壽梓以廣其傳使世其業者皆得以習學是尤今日本監之要務也。較正自當勉爲而力亦不逮徒日望焉。《明史曆志》周相《大統曆法》。