《補修宋奉元術》

初，仁宗朝用《崇天曆》。至治平初，司天監周琮改撰《明天曆》，行之。監生石道言：未經測驗，不可用。不聽。至熙寧元年七月望，夜將旦，月食東方，與曆不協。乃詔曆官雜候星晷，更造新曆。終五年冬日行，餘分略具。會沈括提舉司天監，言：淮南人衛樸通曆法。召樸至，言《崇天曆》氣後天。《明天曆》朔後天。注曰：朔後天，舊誤朔先天。今改。下文減二刻可證。失在置元不當。詔樸更造。樸以己學爲之，視《明天曆》朔減二刻。注曰：以《明天》術推熙寧七年甲寅歲前天正經朔，積年七十一萬一千七百七十，氣積分一十萬一千三百八十八億七百七十六萬五千，閏餘五十一萬八千九百五十八，朔積分一十萬一千三百八十八億七百二十四萬六千四十二，積日二億五千九百九十六萬九千四百一十六，大餘三十六，小餘二萬二千四十二。大餘命甲子小餘以刻法除之，得庚子日五十六刻二百二分。以《奉元》術推之，積年八千三百一十八萬五千七十，氣積分七百二十萬七百二十六億七千五百四十四萬四千一百一十，閏餘三十一萬五千九百八十五，朔積分七百二十萬七百二十六億七千五百一十二萬八千一百二十五，積日三百三億八千二百八十一萬三千二百九十六，大餘三十六，小餘一萬二千九百二十五。大餘命甲子，小餘以刻法除之.得庚子日五十四刻一百二十七分，課於《明天》術，少二刻。是視《明天》術朔減二刻也。八年閏四月壬寅，注曰《玉海》雲十二日。右正言：知制誥沈括上熙寧《奉元曆》。行之。詔進括一官，賜樸錢百十。以監生石道爲靈臺郎。括嘗稱樸精於曆術一行之流也。春秋日蝕三十六，諸曆通驗密者不過得二十六七，唯一行得二十九，樸乃得三十五。唯莊公十八年一蝕，今古算皆不入蝕法疑前史誤耳。自夏仲康五年癸巳歲至熙寧六年癸醜，凡三千二百一年。書傳所載日食，凡四百七十五。衆曆考驗雖各有得失而樸所得爲多。樸欲造候簿，其法須測驗每夜昏曉夜半，月及五星所在度秒，置簿録之。滿五年，其間剔去雲陰及晝見日數外，可得三年實行。然後以算日綴之。古所謂綴術者此也。曆官沮之不成。《奉元曆》五星步術但增損舊曆，正其甚謬處，十得五六而已。九年正月二十七日，括請令司天用渾儀、浮漏、圭表測驗，令樸參校新曆改正。從之。先是括典領修曆，載今月望月食不驗故也。元豐元年十二月辛醜朔，詔提舉司天監集曆官考算遼、高麗、日本國與《奉元曆》同異。注曰：以上采《玉海》《夢溪筆談》。紹興九年，史官重修神宗正史，求《奉元曆》不獲。八月丙子，注曰：《玉海》雲二十九日。昭陳得一、裴伯壽赴闕補修之。注曰以上采《宋史》《玉海》。 熙寧《奉元曆》注曰：以下今補修。 步氣朔術 演紀上元甲子歲距熙寧七年甲寅歲積八千三百一十八萬五千七十算外。上驗往古，每年減一算；下算將來，每年加一算。注曰：案《元史志》，《奉元》術積年八千三百一十八萬五千二百七十七以熙寧七年距至元十八年積二百七年減之，得此積年。 元法二萬三千七百。注曰：此日法見《元史志名》。日法爲元法，用《明天》術例。歲周八百六十五萬六千二百七十三。注曰：案《奉元》術行用在《明天》術後，則《奉元》歲周當與《明天》相近。《明天》術元法三萬九千，鬥分九千五百。置《明天》鬥分。以《明天》元法退除之，得二十四刻三十五分八十九秒七十四小分。以《奉元》元法乘之，得五千七百七十三分七秒六十八小分三十八小秒。秒以下不滿半分去之，得五千七百七十三，爲《奉元》鬥分。以《奉元》元法乘三百六十五日，得八百六十五萬五百，加入奉元鬥分，得此歲周。 歲餘一十二萬四千二百七十三。 朔實六十九萬九千八百七十五。注曰：案何承天調日法，以四十九分之二十六爲彊率，十七分之九爲弱率。今據此率立法以求《奉元》朔實，置元法二萬三千七百。以彊母四十九去之，餘三十三。以四百四十二乘之，得一萬四千五百八十六。滿八百三十三去之，餘四百二十五，爲弱實。以弱母十七除之，得二十五，爲弱數。以弱實返減日法，餘二萬三千二百七十五，爲彊實。以彊母四十九除之，得四百七十五，爲彊數。以彊子二十六乘彊數，得一萬二千三百五十，列上位。以弱子九乘弱數，得二百二十五，加上位，得一萬二千五百七十五，爲《奉元》朔餘。以元法乘二十九日，得六十八萬七千三百，加入朔餘，得此朔實。又以演紀法復考之，置積年八千三百一十八萬五千七十，加十年，得八千三百一十八萬五千八十，爲上元甲子距熙寧甲寅後甲子積年。以歲周乘之，得七百二十萬七百二十七億六千二百萬六千八百四十，爲氣積分副之。以六十乘元法，得一百四十二萬二千，去之餘一百萬二千八百四十，則當時所定甲子年氣骨也。以朔實去其副餘九萬四千二百一十五，則當時所定甲子年閏骨也。演紀法先以元法鬥分，用求一術入之，置鬥分五千七百七十三於右上，元法二萬三千七百於右下，立天元一於左上，空其左下。以右上五千七百七十三除右下二萬三千七百，得四，爲下商。右下餘六百八。以下商四乘左上天元一得四，歸於左下，即棄去下商四。又以右下六百八除右上五千七百七十三，得九，爲上商。右上餘三百一。以上商九乘左下四，得三十六歸入左上一，得左上三十七，即棄去上商九。又以右上三百一除右下六百八，得二，爲下商。右下餘六。以下商二乘左上三十七，得七十四。歸入左下四。得左下七十八，即棄去商二。又以右下六除右上三百一。得五十爲上商。右上餘一。以上商五十乘左下七十八，得三千九百，歸入左上三十七，得左上三千九百三十七，即棄去上商五十。又以右上一除右下六，得五，爲下商。此術不可除盡，須令有餘，故一除六得五，右下餘一。以下商五乘左上三千九百三十七，得一萬九千六百八十五，歸入左下七十八，得左下一萬九千七百六十三，即棄去下商五。驗右上右下俱一，即以一爲等率。左上三千九百三十七，爲因率。以左上三千九百三十七與左下一萬九千七百六十三相加，得二萬三千七百，爲蔀率。又以紀法六十乘等率，仍得六十，爲約率。以約氣骨，得一萬六千七百一十四。以因率乘之，得六千五百八十萬三千一十八。滿蔀率去之，餘一萬一千八百一十八。以六十乘之，得七十萬九千八十，爲入元歲。以歲閏乘之，得一千八百二十七億八千一百六十七萬八千八百四十。滿朔實去之，餘二十二萬四千二百十五，爲入閏。以減閏骨，不足減，於閏骨上加一朔，實得七十九萬四千九十。乃以入閏減之，餘五十六萬九千八百七十五，爲閏縮。又以六十乘蔀率，得一百四十二萬二千，爲氣元率。以歲閏乘之，得三千六百六十五億五千三百二十萬六千。滿朔實去之，餘六十七萬三千五百，爲元閏。次以朔實元閏用求一術入之，置元閏六十七萬三千五百於右上，朔實六十九萬九千八百七十五於右下，立天元一於左上，空其左下。以右上六十七萬三千五百除右下六十九萬九千八百七十五，得一，爲下商。右下餘二萬六千三百七十五。以下商一乘左上天元一，得一，歸於左下，即棄去下商一。又以右下二萬六千三百七十五除右上六十七萬三千五百，得二十五，爲上商。右上餘一萬四千一百二十五。以上商二十五乘左下一，得二十五。歸入左上一，得左上二十六，即棄去上商二十五，又以右上一萬四千一百二十五除右下二萬六千三百七十五，得一，爲下商。右下餘一萬二千二百五十，以下商一乘左上二十六，得二十六，歸入左下一，得左下二十七，即棄去下商一。又以右下一萬二千二百五十除右上一萬四千一百二十五，得一爲上商。右上餘一千八百七十五，以上商一乘左下二十七，得二十七，歸入左上二十六，得左上五十三，即棄去上商一。又以右上一千八百七十五除右下一萬二千二百五十，得六，爲下商。右下餘一千。以下商六乘左上五十三，得三百一十八，歸入左下二十七，得左下三百四十五，即棄去下商六。又以右下一千除右上一千八百七十五，得一，爲上商，右上餘八百七十五，以上商一乘左下三百四十五，得三百四十五，歸入左上五十三得上上三百九十八，即棄去上商一。又以右上八百七十五除右下一千，得一，爲下商。右下餘一百二十五，以下商一乘左上三百九十八，得三百九十八，歸入左下三百四十五，得左下七百四十三，即棄去下商一。又以右下一百二十五除右上八百七十五，得六，爲上商。右上餘一百二十五，以上商六乘左下七百四十三，得四千四百五十八，歸入左上三百九十八，得左上四千八百五十六即棄去上商六。驗右上右下俱一百二十五即以一百二十五爲等數，左上四千八百五十六爲乘數，以左上四千八百五十六與左下七百四十三相加，得五千五百九十九，爲蔀數。以等數約閏縮，得四千五百五十九，以乘數乘之得二千二百一十三萬八千五百四，滿蔀數去之，餘五十八，爲乘元數。以乘氣元率，得八千二百四十七萬六千，爲朔積年。以入元歲加之，得八千三百一十八萬五千八十，爲上元甲子。距熙寧七年甲寅後甲子積年，減十年，餘八千三百一十八萬五千七十，爲上元甲子。距熙寧七年甲寅積年。以上演紀法出宋秦九韶數書。如是反復推求，知今所補奉元術歲周朔實確無可疑。 歲周：三百六十五日餘五千七百七十三。 朔策：二十九餘一萬二千五百七十五。 望策：一十四餘一萬八千一百三十七半。 弦策：七餘九千六十八太。 氣策：一十五餘五千一百七十八秒一十五。 中盈：分一萬三百五十六秒三十。 朔虛：分一萬一千一百二十五。 閏限：六十七萬八千三百九十三秒三百三十。 歲閏：二十五萬七千七百七十三。 月閏：二萬一千四百八十一秒三十。 沒限：一萬八千五百二十一秒三百四十五。 紀法：六十。 秒母：三百六十。 求天正冬至：置所求積年，以歲周乘之，爲天正冬至。 氣積分：滿元法除之，爲積日，不滿爲小餘。日盈紀法去之，不盡。命甲子算外，即得所求年前天正冬至日辰及餘。 求次氣：置天正冬至大小餘，以氣策加之，即得次氣。 大小餘：若秒盈秒母從小餘；小餘滿元法從大餘，大餘滿紀法即去之。命大餘甲子算外，即次氣日辰及餘。餘氣累而求之。 求天正經朔：置天正冬至氣積分，滿朔實去之，爲積月，不盡爲閏餘，盈元法爲日，不盈爲餘。以減天正冬至大小餘爲天正經朔大小餘。大餘不足減，加紀法；小餘不足減，退大餘，加元法而減之。命大餘甲子算外，即得所求年前天正經朔日辰及餘。 求弦望及次朔經日：置天正經朔大小餘，以弦策累加之，命如前即得弦望及次朔經日日辰及餘。 求沒日：置有沒之氣小餘，二十四氣小餘在沒限以上者爲有沒之氣。以秒母乘之，其秒從之。用減歲周餘，以歲餘除之，爲沒日，不滿爲餘。以沒日加其氣大餘，命甲子算外，即其氣沒日日辰。 求滅日：置有滅之經朔小餘，經朔小餘不滿朔虛分者爲有滅之朔。以三十乘之，滿朔虛分爲滅日，不滿爲餘，以滅日加經朔大餘，命甲子算外，即其月滅日日辰。 步發斂術 候策：五餘一千七百二十六秒五。 卦策：六餘二千七十一秒七十八。 土王策：三餘一千三十五秒二百一十九。 辰法：一千九百七十五。 半辰法：九百八十七半。 刻法：二百三十七。 秒母：三百六十。 求七十二候：各置中節大小餘命之爲初候以候策加之爲次候，又加之爲末候，各命甲子算外即得其候日辰。 求六十四卦：各因中氣天小餘命之爲公卦用事日，以卦策加之，即次卦用事日，以土王策加諸侯之卦，得十有二節之初外卦用事日。 求五行用事日：各因四立之節大小餘命之，即春木夏火秋金冬水首用事日以土王策減四季中氣大小餘命甲子算外，即其月土始用事日也。 求發斂加時：各置小餘滿辰法除之，爲辰數；不滿者刻法而一爲刻：又不滿爲分命辰數。從子正算外，即得所求加時辰刻。若以半辰之數加而命之，即得辰初後所入刻數。 求發斂去經朔：置天正經朔閏餘，以月閏累加之，即每月閏餘，滿元法除之，爲閏日不盡爲小餘，即得其月中氣去經朔日及餘秒。其閏餘滿閏限，即爲置閏，以月內無中氣爲定 求卦候去經朔：各以卦候策及餘秒累加減之，中氣前減，中氣後即加。各得卦候去經朔日及餘秒。 步日躔術已下闕 步晷漏術 步月離術 步交會術 步五星術