《元史.曆志三》

授時曆經上 步氣朔第一 至元十八年歲次辛巳爲元。上考往古，下驗將來，皆距立元爲算。周歲消長，百年各一，其諸應等數，隨時推測，不用爲元。 日周，一萬。 歲實，三百六十五萬二千四百二十五分。 通餘，五萬二千四百二十五分。 朔實，二十九萬五千三百五分九十三秒。 通閏，十萬八千七百五十三分八十四秒。 歲周，三百六十五日二千四百二十五分。 朔策，二十九日五千三百五分九十三秒。 氣策，十五日二千一百八十四分三十七秒半。 望策，十四日七千六百五十二分九十六秒半。 弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。 氣應，五十五萬六百分。 閏應，二十萬一千八百五十分。 沒限，七千八百一十五分六十二秒半。 氣盈，二千一百八十四分三十七秒半。 朔虛，四千六百九十四分七秒。 旬周，六十萬。 紀法，六十。 推天正冬至 置所求距算，以歲實上推往古，每百年長一；下算將來，每百年消一。乘之，爲中積。加氣應，爲通積。滿旬周，去之；不盡，以日周約之爲日，不滿爲分。其日命甲子算外，即所求天正冬至日辰及分。如上考者，以氣應減中積，滿旬周，去之；不盡，以減旬周。餘同上。 求次氣 置天正冬至日分，以氣策累加之，其日滿紀法去之，外命如前各得次氣日辰及分秒。 推天正經朔 置中積，加閏應，爲閏積。滿朔實，去之不盡爲閏餘以減通積，爲朔積。滿旬周，去之；不盡，以日周約之，爲日，不滿爲分，即所求天正經朔日及分秒。上考者，以閏應減中積，滿朔實，去之不盡，以減朔實，爲閏餘。以日周約之爲日，不滿爲分，以減冬至日及分，不及減者，加紀法減之，命如上。 求弦望及次朔 置天正經朔日及分秒，以弦策累加之，其日滿紀法，去之，各得弦望及次朔日及分秒。 推沒日 置有沒之氣分秒，如沒限已上爲有沒之氣。以十五乘之，用減氣策，餘滿氣盈而一，爲日，併恒氣日，命爲沒日。 推滅日 置有滅之朔分秒，在朔虛分已下爲有滅之朔。以三十乘之，滿朔虛而一，爲日，併經朔日，命爲滅日。 步發斂第二 土王策，三日四百三十六分八十七秒半。 月閏，九千六十二分八十二秒。 辰法，一萬。 半辰法，五千。 刻法，一千二百。 推五行用事 各以四立之節，爲春木、夏火、秋金、冬水首用事日。以土王策減四季中氣，各得其季土始用事日。 氣候【詳細數據見原書】 推中氣去經朔 置天正閏餘，以日周約之，爲日，命之，得冬至去經朔。以月閏累加之，各得中氣去經朔日算。滿朔策，去之，乃全置閏，然俟定朔無中氣者裁之。 推發斂加時 置所求分秒，以十二乘之，滿辰法而一，爲辰數；餘以刻法收之，爲刻；命子正算外，即所在辰刻。如滿半辰法，通作一辰，命起子初。 步日躔第三 周天分，三百六十五萬二千五百七十五分。 周天，三百六十五度二十五分七十五秒。 半周天，一百八十二度六十二分八十七秒半。 象限，九十一度三十一分四十三秒太。 歲差，一分五十秒。 周應，三百一十五萬一千七十五分。 半歲周，一百八十二日六千二百一十二分半。 盈初縮末限，八十八日九千九十二分少。 縮初盈末限，九十三日七千一百二十分少。 推天正經朔弦望入盈縮曆 置半歲周，以閏餘日及分減之，即得天正經朔入縮曆。冬至後盈，夏至後縮。以弦策累加之，各得弦望及次朔入盈縮曆日及分秒。滿半歲周去之，即交盈縮。 求盈縮差 視入曆盈者，在盈初縮末限已下，爲初限，已上，反減半歲周，餘爲末限；縮者，在縮初盈末限已下，爲初限，已上，反減半歲周，餘爲末限。其盈初縮末者，置立差三十一，以初末限乘之，加平差二萬四千六百，又以初末限乘之，用減定差五百一十三萬三千二百，餘再以初末限乘之，滿億爲度，不滿退除爲分秒；縮初盈末者，置立差二十七，以初末限乘之，加平差二萬二千一百，又以初末限乘之用減定差四百八十七萬六百餘再以初末限乘之滿億爲度不滿退除爲分秒，即所求盈縮差。 又術：置入限分，以其日盈縮分乘之，萬約爲分，以加其下盈縮積，萬約爲度，不滿爲分秒，亦得所求盈縮差。 右赤道宿次，並依新製渾儀測定，用爲常數，校天爲密。若考往古，即用當時宿度爲準。 推冬至赤道日度 置中積以加周應爲通積，滿周天分，上推往古，每百年消一；下算將來，每百年長一。去之，不盡，以日周約之爲度，不滿，退約爲分秒。命起赤道虛宿六度外，去之，至不滿宿，即所求天正冬至加時日躔赤道宿度及分秒。上考者，以周應減中積，滿周天去之；不盡，以減周天，餘以日周約之爲度；餘同上。如當時有宿度者，止依當時宿度命之。 求四正赤道日度 置天正冬至加時赤道日度，累加象限，滿赤道宿次，去之各得春夏秋正日所在宿度及分秒。 求四正赤道宿積度 置四正赤道宿全度，以四正赤道日度及分減之餘爲距後度；以赤道宿度累加之，各得四正後赤道宿積度及分。黃赤道率【詳表見原書】 推黃道宿度 置四正後赤道宿積度，以其赤道積度減之，餘以黃道率乘之，如赤道率而一；所得，以加黃道積度，爲二十八宿黃道積度；以前宿黃道積度減之，爲其宿黃道度及分。其秒就近爲分。 右黃道宿度，依今曆所測赤道准冬至歲差所在算定，以憑推步。若上下考驗，據歲差每移一度，依術推變，各得當時宿度。 推冬至加時黃道日度 置天正冬至加時赤道日度，以其赤道積度減之，餘以黃道率乘之如赤道率而一；所得，以加黃道積度，即所求年天正冬至加時黃道日度及分秒。 求四正加時黃道日度 置所求年冬至日躔黃赤道差，與次年黃赤道差相減，餘四而一，所得，加象限，爲四正定象度。置冬至加時黃道日度，以四正定象度累加之，滿黃道宿次，去之，各得四正定氣加時黃道宿度及分。 求四正晨前夜半日度 置四正恒氣日及分秒，冬夏二至，盈縮之端，以恒爲定。以盈縮差命爲日分，盈減縮加之，即爲四正定氣日及分。置日下分，以其日行度乘之，如日周而一；所得，以減四正加時黃道日度，各得四正定氣晨前夜半日度及分秒。 求四正後每日晨前夜半黃道日度 以四正定氣日距後正定氣日爲相距日，以四正定氣晨前夜半日度距後正定氣晨前夜半日度爲相距度，累計相距日之行定度，與相距度相減；餘如相距日而一，爲日差；相距度多爲加，相距度少爲減。以加減四正每日行度率，爲每日行定度；累加四正晨前夜半黃道日度，滿宿次，去之，爲每日晨前夜半黃道日度及分秒。 求每日午中黃道日度 置其日行定度，半之，以加其日晨前夜半黃道日度，得午中黃道日度及分秒。 求每日午中黃道積度 以二至加時黃道日度距所求日午中黃道日度，爲二至後黃道積度及分秒。 求每日午中赤道日度 置所求日午中黃道積度，滿象限，去之餘爲分後內減黃道積度以赤道率乘之，如黃道率而一；所得，以加赤道積度及所去象限，爲所求赤道積度及分秒；以二至赤道日度加而命之，即每日午中赤道日度及分秒。黃道十二次宿度【詳細數據見原書】 求入十二次時刻 各置入次宿度及分秒，以其日晨前夜半日度減之，餘以日周乘之，爲實；以其日行定度爲法；實如法而一，所得，依發斂加時求之，即入次時刻。 步月離第四 轉終分，二十七萬五千五百四十六分。 轉終，二十七日五千五百四十六分。 轉中，十三日七千七百七十三分。 初限，八十四。 中限，一百六十八。 周限，三百三十六。 月平行，十三度三十六分八十七秒半。 轉差，一日九千七百五十九分九十三秒。 弦策，七日三千八百二十六分四十八秒少。 上弦，九十一度三十一分四十三秒太。 望，一百八十二度六十二分八十七秒半。 下弦，二百七十三度九十四分三十一秒少。 轉應，一十三萬一千九百四分。 推天正經朔入轉 置中積，加轉應，減閏餘，滿轉終分，去之，不盡，以日周約之爲日，不滿爲分，即天正經朔入轉日及分。上考者，中積內加所求閏餘，減轉應，滿轉終，去之，不盡，以減轉終，餘同上。 求弦望及次朔入轉 置天正經朔入轉日及分，以弦策累加之，滿轉終，去之，即弦望及次朔入轉日及分秒。如徑求次朔，以轉差加之。 求經朔弦望入遲疾曆 各視入轉日及分秒，在轉中已下，爲疾曆；已上，減去轉中，爲遲曆。 遲疾轉定及積度 求遲疾差 置遲疾曆日及分，以十二限二十分乘之，在初限已下爲初限，已上覆減中限餘爲末限。置立差三百二十五以初末限乘之加平差二萬八千一百又以初末限乘之，用減定差一千一百一十一萬餘再以初末限乘之滿億爲度不滿退除爲分秒，即遲疾差。 又術：置遲疾曆日及分以遲疾曆日率減之，餘以其下損益分乘之，如八百二十而一益加損減其下遲疾度，亦爲所求遲疾差。 求朔弦望定日 以經朔弦望盈縮差與遲疾差，同名相從異名相消，盈遲縮疾爲同名，盈疾縮遲爲異名。以八百二十乘之，以所入遲疾限下行度除之，即爲加減差盈遲爲加縮疾爲減。以加減經朔弦望日及分，即定朔弦望日及分。若定弦望分在日出分已下者退一日，其日命甲子算外，各得定朔弦望日辰。定朔幹名與後朔幹同者，其月大；不同者，其月小；內無中氣者，爲閏月。 推定朔弦望加時日月宿度 置經朔弦望入盈縮曆日及分，以加減差加減之，爲定朔弦望入曆，在盈，便爲中積，在縮，加半歲周，爲中積；命日爲度，以盈縮差盈加縮減之，爲加時定積度；以冬至加時日躔黃道宿度加而命之，各得定朔弦望加時日度。 凡合朔加時，日月同度，便爲定朔加時月度；其弦望各以弦望度加定積，爲定弦望月行定積度；依上加而命之，各得定弦望加時黃道月度。 推定朔弦望加時赤道月度 各置定朔弦望加時黃道月行定積度，滿象限，去之，以其黃道積度減之，餘以赤道率乘之，如黃道率而一，用加其下赤道積度及所去象限，各爲赤道加時定積度；以冬至加時赤道日度加而命之，各爲定朔弦望加時赤道月度及分秒。象限已下及半周，去之，爲至後；滿象限及三象，去之，爲分後。 推朔後平交入轉遲疾曆 置交終日及分，內減經朔入交日及分爲朔後平交日；以加經朔入轉爲朔後平交入轉；在轉中已下，爲疾曆；已上，去之，爲遲曆。 求正交日辰 置經朔，加朔後平交日，以遲疾曆依前求到遲疾差遲加疾減之，爲正交日及分其日命甲子算外即正交日辰。 推正交加時黃道月度 置朔後平交日，以月平行度乘之，爲距後度；以加經朔中積，爲冬至距正交定積度；以冬至日躔黃道宿度加而命之爲正交加時月離黃道宿度及分秒。 求正交在二至後初末限 置冬至距正交積度及分，在半歲周已下，爲冬至後：已上，去之，爲夏至後。其二至後，在象限已下，爲初限；已上，減去半歲周爲末限。 求定差距差定限度 置初末限度，以十四度六十六分乘之，如象限而一，爲定差；反減十四度六十六分餘爲距差。以二十四乘定差如十四度六十六分而一所得交在冬至後名減，夏至後名加，皆加減九十八度，爲定限度及分秒。 求四正赤道宿度 置冬至加時赤道度，命爲冬至正度；以象限累加之各得春分、夏至、秋分正積度；各命赤道宿次去之，爲四正赤道宿度及分秒。 求月離赤道正交宿度 以距差加減春秋二正赤道宿度，爲月離赤道正交宿度及分秒。冬至後，初限加，末限減，視春正；夏至後，初限減，末限加，視秋正。 求正交後赤道宿積度入初末限 各置春秋二正赤道所當宿全度及分，以月離赤道正交宿度及分減之，餘爲正交後積度；以赤道宿次累加之，滿象限去之，爲半交後；又去之，爲中交後；再去之，爲半交後；視各交積度在半象已下，爲初限；已上，用減象限，餘爲末限。 求月離赤道正交後半交白道舊名九道出入赤道內外度及定差 置各交定差度及分，以二十五乘之，如六十一而一；所得，視月離黃道正交在冬至後宿度爲減，夏至後宿度爲加，皆加減二十三度九十分，爲月離赤道後半交白道出入赤道內外度及分；以周天六之一，六十度八十七分六十二秒半，除之，爲定差。月離赤道正交後爲外，中交後爲內。 求月離出入赤道內外白道去極度 置每日月離赤道交後初末限，用減象限，餘爲白道積；用其積度減之，餘以其差率乘之；所得，百約之以加其下積差，爲每日積差：用減周天六之一，餘以定差乘之，爲每日月離赤道內外度；內減外加象限，爲每日月離白道去極度及分秒。 求每交月離白道積度及宿次 置定限度，與初末限相減相乘，退位爲分，爲定差；正交、中交後爲加，半交後爲減。以差加減正交後赤道積度，爲月離白道定積度；以前宿白道定積度減之，各得月離白道宿次及分。 推定朔弦望加時月離白道宿度 各以月離赤道正交宿度距所求定朔弦望加時月離赤道宿度，爲正交後積度；滿象限，去之，爲半交後；又去之，爲中交後；再去之，爲半交後；視交後積度在半象已下，爲初限；已上，用減象限，爲末限；以初末限與定限度相減相乘，退位爲分，分滿百爲度，爲定差；正交、中交後爲加半交後爲減。以差加減月離赤道正交後積度，爲定積度，以正交宿度加之，以其所當月離白道宿次去之，各得定朔弦望加時月離白道宿度及分秒。 求定朔弦望加時及夜半晨昏入轉 置經朔弦望入轉日及分，以定朔弦望加減差加減之，爲定朔弦望加時入轉；以定朔弦望日下分減之爲夜半入轉；以晨分加之爲晨轉昏分加之，爲昏轉。 求夜半月度 置定朔弦望日下分，以其入轉日轉定度乘之，萬約爲加時轉度以減加時定積度餘爲夜半定積度；依前加而命之各得夜半月離宿度及分秒。 求晨昏月度 置其日晨昏分以夜半入轉日轉定度乘之萬約爲晨昏轉度各加夜半定積度，爲晨昏定積度；加命如前，各得晨昏月離宿度及分秒。 求每日晨昏月離白道宿次 累計相距日數轉定度爲轉積度；與定朔弦望晨昏宿次前後相距度相減餘以相距日數除之，爲日差；距度多爲加，距度少爲減。以加減每日轉定度，爲行定度；以累加定朔弦望晨昏月度，加命如前，即每日晨昏月離白道宿次。朔後用昏，望後用晨，朔望晨昏俱用。