《明史.曆志三》

大統曆法一下法原 日月五星平立定三差 太陽盈縮平立定三差之原 冬至前後盈初縮末限，八十八日九十一刻，就整。離爲六段，每段各得一十四日八十二刻。就整。各段實測日躔度數，與平行相較，以爲積差。 各置其段積差，以其段積日除之，爲各段日平差。置各段日平差，與後段日平差相減，爲一差。置一差，與後段一差相減，爲二差。 置第一段日平差，四百七十六分二十五秒，爲汎平積。以第二段二差一分三十八秒，去減第一段一差三十八分四十五秒，餘三十七分〇七秒，爲汎平積差。 另置第一段二差一分三十八秒折半得六十九秒，爲汎立積差。以汎平積差三十七分〇七秒，加入汎平積四百七十六分二十五秒，共得五百一十三分三十二秒，爲定差。以汎立積差六十九秒，去減汎平積差三十七分〇七秒，餘三十六分三十八秒爲實，以段日一十四日八十二刻爲法除之；得二分四十六秒爲平差。置汎立積差六十九秒爲實以段日爲法除二次得三十一微爲立差。 夏至前後縮初盈末限，九十三日七十一刻，就整。離爲六段，每段各得一十五日六十二刻。就整。各段實測日躔度數，與平行相較，以爲積差。 置第一段日平差，四百五十一分九十二秒，爲汎平積。以第一段二差一分三十三秒，去減第一段一差三十六分四十七秒，餘三十五分一十四秒，爲汎平積差。另置第一段二差一分三十三秒折半，得六十六秒五十微，爲汎立積差。 以汎平積差三十五分一十四秒，加入汎平積四百五十一分九十二秒，共四百八十七分〇六秒，爲定差。以汎立積差六十六秒五十微，去減汎平差三十五分一十四秒，餘三十四分四十七秒五十微爲實，以段日一十五日六二爲法除之，得二分二十一秒，爲平差。置汎立積差六十六秒五十微爲實，以段日爲法，除二次，得二十七微，爲立差。 凡求盈縮，以入曆初末日乘立差，得數以加平差，再以初末日乘之，得數以減定差，餘數以初末日乘之，爲盈縮積。 凡盈曆以八十八日九〇九二二五爲限，縮曆以九十三日七一二〇二五爲限。在其限已下爲初以上轉減半歲周餘爲末。盈初是從冬至後順推，縮末是從冬至前逆溯，其距冬至同，故其盈積同。縮初是從夏至後順推，盈末是從夏至前逆溯，其距夏至同，故其縮積同。 盈縮招差圖說 盈縮招差，本爲一象限之法。如盈曆則以八十八日九十一刻爲象限，縮曆則以九十三日七十一刻爲象限。今止作九限者，舉此爲例也。其空格九行定差本數，爲實也。其斜線以上平差立差之數，爲法也。斜線以下空格之定差，乃餘實也。假如定差爲一萬，平差爲一百，立差爲單一。今求九限法，以九限乘定差得九萬爲實。另置平差以九限乘二次得八千一百。置立差，以九限乘三次，得七百二十九。並兩數得八千八百二十九爲法。以法減實餘八萬一千一百七十一，爲九限積。又法，以九限乘平差得九百又以九限乘立差二次得八十一，並兩數得九百八十一爲法，定差一萬爲實，以法減實，餘九千零一十九，即九限末位所書之定差也。於是再以九限乘餘實，得八萬一千一百七十一，爲九限積，與前所得同。蓋前法是先乘後減，又法是先減後乘，其理一也。 按《授時曆》於七政盈縮，並以垜積招差立算，其法巧合天行，與西人用小輪推步之法，殊途同歸。然世所傳《九章》諸書不載其術《曆草》載其術，而不言其故。宣城梅文鼎爲之圖解，於平差、立差之理，垜積之法；皆有以發明其所以然。有專書行於世，不能備録，謹録《招差圖說》，以明立法之大意雲。 凡布立成 盈初縮末置立差三十一微，以六因之得一秒八十六微爲加分立差。置平差二分四十六秒，倍之，得四分九十二秒，加入加分立差，得四分九十三秒八十六微，爲平立合差。 置定差五百一十三分三十二秒內減平差二分四十六秒再減立差三十一微，餘五百一十〇分八十五秒六十九微，爲加分。 縮初盈末置立差二十七微，以六因之，得一秒六十二微，爲加分立差。置平差二分二十一秒，倍之，得四分四十二秒，加入加分立差，得四分四十三秒六十二微，爲平立合差。置定差四百八十七分〇六秒內減平差二分二十一秒再減立差二十七微，餘四百八十四分八十四秒七十三微，爲加分。 已上所推，皆初日之數。其推次日，皆以加分立差，累加平立合差，爲次日平立合差。以平立合差減其日加分爲次日加分。盈縮並同。其加分累積之即盈縮積，其數並見立成。 太陰遲疾平立定三差之原 太陰轉週二十七日五十五刻四六，測分四象，象各七段，四象二十八段，每段十二限，每象八十四限，凡三百三十六限，而四象一周。以四象爲法，除轉周日，得每象六日八八八六五，分爲七段，每段下實測月行遲疾之數，與平行相較，以求積差。 各置其段積差，以其段積限爲法除之，爲各段限平差。置各段限平差，與後段相減爲一差。置一差，與後段一差相減爲二差。 置第一段限平差一十〇分七二六爲汎平積。置第一段一差四十七秒七六，以第一段二差九秒三六減之，餘三十八秒四十微，爲汎平積差。另置第一段二差九秒三十六微折半得四秒六十八微，爲汎立積差。以汎平積差三十八秒四十微，加汎平積一十〇分七二六，得一十一分一十一秒，爲定差。置汎平積差三十八秒四十微，以汎立積差四秒六十八微減之，餘三十三秒七十二微爲實，以十二限爲法除之，得二秒八十一微，爲平差。置汎立積差四秒六十八微爲實，十二限爲法，除二次，得三微二十五纖，爲立差。 凡求遲疾皆以入曆日乘十二限二十分以在八十四限已下爲初已上轉減一百六十八限餘爲末。各以初末限乘立差，得數以加平差，再以初末限乘之，得數以減定差，餘以初末限乘之，爲遲疾積。其初限是從最遲最疾處順推至後，末限是從最遲最疾處逆溯至前，其距最遲疾處同，故其積度同。太陰與太陽立法同，但太陽以定氣立限，故盈縮異數。太陰以平行立限，故遲疾同原。 布立成法置立差三微二十五纖，以六因之，得一十九微五十纖，爲損益立差。置平差二秒八十一微，倍之，得五秒六十二微，再加損益立差一十九微五十纖，共得五秒八十一微，爲初限平立合差。自此以損益立差，累加之，即每限平立合差。至八十限下，積至二十一秒四一五爲平立合差之極。八十一限下差一秒七八〇九，八十二限下一秒七八〇八，至八十三限下平立合差，與益分中分，爲益分之終。八十四限下差，亦與損分中分，爲損分之始。至八十六限下差，亦二十一秒四一五，自此以損益立差累減之，即每限平立合差，至末限與初限同。置定差一十一分一十一秒，內減平差二秒八十一微，再減立差三微二十五纖，餘一十一分〇八秒一十五微七十五纖，爲加分定差，即初限損益分。 置損益分，以其限平立合差益減損加之，即爲次限損益分。以益分積之，損分減之，便爲其下遲疾度。以八百二十分爲一限日率，累加八百二十分爲每限日率。以上俱詳立成。 五星平立定三差之原 凡五星各以實測，分其行度爲八段，以求積差，略如日月法。 木星立差加，平差減。【詳細數據見原書】 各置其段所測積差度分爲實，以段日爲法除之，爲汎平差。各以汎平差與次段汎平差相較爲汎平較。又以汎平較與次段汎平較相較，爲汎立較。 置第一段汎平較三十九秒一六二一，減其下汎立較六秒二四二二，餘三十二秒九一九九，爲初段平立較。加初段汎平差一十分五六七八〇一，共得一十〇分八十九秒七十〇微，爲定差。秒置萬位。置初段平立較差三十二秒九一九九，內減汎立較之半，三秒一二一一，餘二十九秒七九八八，以段日一十一日五十刻除之，得二秒五十九微一十二纖，爲平差。置汎立差之半，三秒一二一一，以段日爲法除二次，得二微三十六纖。爲立差。 已上爲木星平立定三差之原。 火星盈初縮末。立差減，平差減。【詳細數據見原書】 汎平較前多後少，應加汎立較。置初段下汎平較六分一三九八四七二九六八七五，加汎立較一十三秒一九七九二一八七五得六分二七一八二六五一五六二五，爲初日下平立較。置初段汎平差八十二分二十〇秒六五七三四八四三七五，加初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五，得八十八分四十七秒八十四微，爲定差。置初日下平立較六分二七一八二六五一五六二五加汎立較之半，六秒五九八九六〇九三七五，得六分三三七八一六一二五爲實，以段日而一，得八十三秒一十一微八十九纖，爲平差。置汎立較之半，六秒五九八九六〇九三七五，以段日七日六十二刻五十分爲法除二次，得一十一微三十五纖爲立差。 火星縮初盈末平差負減，立差減。【詳細數據見原書】 取汎立較均停者，三十九秒五八二一三七五，以較一段下汎平較一十三秒二六四八三一二五.餘二十六秒三一七三〇六二五爲較較，以加一段下汎平差二十九分七一三一二六九三七五，得二十九分九十七秒六十三微，爲定差。置較較二十六秒三一七三〇六二五，以段日一十五日二十五刻而一，得一秒七二五七二五。再置汎立較之半一十九秒七九一〇六八七五，以段日而一.得一秒二九七七七五。兩數並得三秒〇二微三十五纖，爲平差。置汎立較之半一十九秒七九一〇六八七五，以段日一十五日二五爲法除二次，得八微五十一纖，爲立差。 已上爲火星平立定三差之原。 土星盈曆立差加，平差減。【詳細數據見原書】 置第一段下汎平較，內減其下汎立較，餘五十〇秒九一七九七五，爲平立較。以平立較，加本段汎平差，得一十五分一十四秒六十一微，爲定差。置平立較，內減汎立較之半，三秒七四二六七五，餘四十七秒一七五三，以段日十一日五十刻而一，得四秒一十〇微二十二纖，爲平差。置汎立較之半，以段日除二次得二微八十三纖，爲立差。 土星縮曆立差加，平差減。【詳細數據見原書】 置一段汎平較，內減其下汎立較，餘二十一秒七七二三七五，爲平立較。以平立較加入本段汎平差，得一十一分〇一秒七十五微，爲定差。置平立較，內減汎立較之半，四秒三七七四七五，餘一十七秒三九四九，以段日一十一日五十刻爲法除之得一秒五十一微二十六纖，爲平差。置汎立較之半，以段日爲法除二次得三微三十一纖爲立差。 已上爲土星平立定三差之原。 金星立差加，平差減。【詳細數據見原書】 置一段下汎平較，與其汎立較相減，餘一秒八六八一七五爲平立較，以加汎平差，得三分五十一秒五十五微，爲定差。置平立較，與汎立較之半，一秒八六四七二五相減餘三十四纖以段日一十一日五十刻爲法除之得三纖，爲平差。置汎立較之半，以段日爲法除二次，得一微四十一纖，爲立差。 已上爲金星平立定三差之原。 水星立差加，平差減。【詳細數據見原書】 術同金星，求得定差三分八十七秒九十微，平差二十一微六十五纖，立差一微四十一纖。 已上爲水星平立定三差之原。 右五星，皆以立差爲秒，平差爲本，定差爲總。五星各以段次因秒，木土金水四星併本，惟火星較本各以積日而積五星皆較總又各以積日乘之得各實測之度分。 五星積日，皆以度率，除周日得三百六十五度二十五分太。各以四分之一爲象限，惟火星用象限三之一，減象限爲盈初縮末限，加象限爲縮初盈末限。其命度爲日者，爲各取盈縮曆乘除之便，其實積日之數，即積度也。 裡差刻漏 求二至差股及出入差。術曰：置所測北極出地四十度九十五分爲半弧背，以前割圓弧矢法，推得出地半弧弦三十九度二十六分，爲大三斜中股。置測到二至黃赤道內外度二十三度九十分爲半弧背以前法推得內外半弧弦二十三度七十一分。又爲黃赤道大句，又爲小三斜弦。置內外半弧弦白之爲句冪，半徑自之爲弦冪，二冪相減，開方得股，以股轉減半徑，餘四度八十一分爲二至出入矢，即黃赤道內外矢。夏至日，南至地平七十四度二十六分半爲半弧背，求得日下至地半弧弦五十八度四十五分。半徑六十〇度八十七分半，爲大三斜中弦。置大三斜中股三十九度二十六分，以二至內外半弧弦二十三度七十一分乘之爲實，以半徑六十〇度八十七分半爲法除之，得一十五度二十九分，爲小三斜中股。又爲小股。置小三斜中股一十五度二十九分，去減日下至地半弧弦五十八度四十五分，餘四十三度一十六分，爲大股。以出入矢四度八十一分，去減半徑六十〇度八十七分半餘五十六度〇六分半爲大股弦。置大股弦，以小股一十五度二九乘之爲實，大股四十三度一六爲法除之，得一十九度八十七分爲小弦，即爲二至出入差半弧弦。置二至出入差半弧弦，依法求到二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒。置二至出入差半弧背一十九度九六一四，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分除之，得八十四分一十九秒，爲度差分。 求黃道每度晝夜刻。術曰：置所求每度黃赤道內外半弧弦，以二至出入差半弧背乘之爲實，二至黃赤道內外半弧弦爲法除之，爲每度出入差半弧背。又術：置黃赤道內外半弧弦，以度差八十四分一十九秒乘之亦得出入差半弧背。置半徑內減黃赤道內外矢，即赤道二弦差.見前條立成。餘數倍之，又三因之，得數加一度，爲日行百刻度。又術：以黃赤道內外矢倍之，以減全徑餘數，三因加一度，爲日行百刻度亦同。置每度出入半弧背，以百刻乘之爲實，日行百刻度爲法除之，得數爲出入差刻。置二十五刻，以出入差刻視黃道，在赤道內加之，在赤道外減之，得數爲半晝刻，倍之爲晝刻，以減百刻，爲夜刻。 如求冬至後四十四度晝夜刻。術曰：置冬至後四十四度黃赤道內外半弧弦一十七度二十五分六十九秒，又爲黃赤道小弧弦.前立成中取之。以二至出入差半弧背一十九度九十六分一十四秒乘之爲實，以二至黃赤道內外半弧弦二十三度七十一分爲法除之，得一十四度五十二分八十五秒.爲出入半弧背。又法置黃赤道內外半弧弦一十七度二五六九，以度差〇度八四一九乘之.亦得一十四度五二八五，爲出入半弧背。置半徑六十〇度八七五，以四十四度黃赤道內外矢二度五十一分八十一秒又爲赤道二弦差，前立成中取之。減之餘五十八度三十五分六十九秒，即赤道小弦。倍之，得一百一十六度七十一分三十八秒，三因之，加一度，得三百五十一度一十四分一十四秒，爲日行百刻度。又術：倍黃赤道內外矢得五度〇三分六十二秒.以減全徑一百二十一度七十五分，亦得一百一十六度七十一分三土八秒，三因加一度，爲日行百刻度，亦同。置出入半弧背一十四度五十二分八十五秒，以百刻乘之爲實，以日行百刻度三百五十一度一十四分一十四秒爲法除之，得四刻一十三分七十五秒，爲出入差刻。置二十五刻，以出入差刻四刻一十三分七十五秒減之，因冬至後四十四度，黃道在赤道外故減餘二十〇刻八十六分二十五秒爲半書刻倍之得四十一刻七十二分半，爲晝刻。以書刻減百刻，餘五十八刻二十七分半，爲夜刻。又術：置出入差刻四刻一十三分七十五秒，倍之，得八刻二十七分半.以減春秋分書夜五十刻，得四十一刻七十二分半爲書刻。以倍刻加五土刻得五十八刻二十七分半爲夜刻。晝減故夜加，餘倣此。【詳表見原書】 右《曆草》所載晝夜刻分，乃大都即燕京晷漏也。夏晝、冬夜極長，六十一刻八十四分，冬晝、夏夜極短，三十八刻一十六分。明既遷都於燕，不知遵用。惟正統己巳奏准頒曆用六十一刻，而羣然非之。景泰初仍復用南京晷刻終明之世未能改正也。