《周髀算經》

榮方復歸思之數日不能得。復見陳子曰「方思之以精熟矣。智有所不及，而神有所窮，知不能得。願終請説之。」自知不敏，避席而請説之。陳子曰：「復坐，吾語汝。」於是榮方復坐而請。陳子説之曰：「夏至南萬六千里，冬至南十三萬五千里，日中立竿無影。」臣鸞曰：南戴日下立八尺表，表影千里而差一寸，是則天上一寸，地下千里。今夏至影有一尺六寸，故知其萬六千里。冬至影一丈三尺五寸，則知其十三萬五千里。此一者天道之數。言天道數一悉以如此。周髀長八尺，夏至之日晷一尺六寸。晷，影也。此數望之從周。而周官測景，尺有五寸。蓋出周城南千里也。記雲：「神州之土方五千里。」雖差一寸，不出畿地之分，失四和之實》故建王國。髀者，股也。正晷者，句也。以髀爲股，以影爲句。句股定，然後可以度日之高遠。正晷者日中之時節也。正南千里句一尺五寸。正北千里句一尺七寸。候其影，使表相去二千里，影差二寸。將求日之高遠，故先見其表影之率。日益南，晷益長。候句六尺，候其影使長六尺者，欲令句股相應，句三、股四。弦五，句六、股八、弦十。即取竹，空徑一寸，長八尺，捕影而視之，空正掩日，以徑寸之空視日之影，髀長則大，矩短則小，正滿八尺也。捕猶索也。掩猶覆也。而日應空。掩若重規。更言八尺者舉其定也。又日近則大，遠則小，以影六尺爲正。由此觀之，率八十寸而得徑一寸。以此爲日髀之率。故以句爲首，以髀爲股。首猶始也。股猶未也。句能制物之率，股能制句之正。欲以爲總見之數，立精理之本。明可以周萬事，智可以達無方。所謂「智出於句，句出於矩」也。從髀至日下六萬裡而髀無影。從此以上至日，則八萬裡。臣鸞曰：求從髀至日下六萬裡者，先置南表晷六尺，上十之爲六十寸。以兩表相去二千里乘，得十二萬裡爲實。以影差二寸爲法，除之，得日底地去表六萬裡。求從髀至日八萬裡者先置表高八尺上十之爲八十寸。以兩表相去二千里乘之，得十六萬爲實。以影差二寸爲法，除之，得從表端上至日八萬裡也。若求邪至日者，以日下爲句，日高爲股。句、股各自乘並而開方除之，得邪至日，從髀所袤至日所十萬裡。袤，此古邪字。求其數之術曰：以表南至日下六萬裡爲句，以日高八萬裡爲股，爲之求弦。句、股各自乘，並而開方除之，即邪至日之所也。臣鸞曰：求從髀邪至日所法：先置南至日底六萬裡爲句重張自乘，得三十六億爲句實。更置日高八萬裡爲股，重張自乘，得六十四億爲股實。並句、股實得一百億爲弦實。開方除之，得從王城至日十萬裡。今有十萬裡，問徑幾何？曰，一千二百五十裡。八十寸而得徑一寸，以一寸乘十萬裡爲實。八十寸爲法即得。以率率之八十裡得徑一裡。十萬裡得徑千二百五十裡。法當以空徑爲句率，竹長爲股率。日去人爲大股，大股之句即日徑也。其術以句率乘大股股率而一。此以八十裡爲法，十萬裡爲實。實如法而一，即得日徑。故曰，日徑千二百五十裡。臣鸞曰：求以率八十裡得徑一裡，十萬裡得徑千二百五十裡法，先置竹孔徑一寸爲千里作大句，更置邪去日十萬裡爲股。以句千里乘股十萬裡，得一億爲實。更置日去地八萬裡爲法。除實得日徑千二百五十裡。故雲日徑也。臣淳風等謹按：夏至王城望日，立兩表相去二千里，表高八尺。影去前表一尺五寸，去後表一尺七寸。舊術以前後影差二寸爲法，以前影寸數乘表間爲實。實如法得萬五千里爲日下去南表裡。又以表高八十寸乘表間爲實。實如法，得八萬裡爲表上去日裡。仍以表寸爲日高，影寸爲日下。待日漸高，候日影六尺，用之爲句。以表爲股。爲之求弦，得十萬裡爲邪表數目。取管圓孔徑一寸，長八尺，望日滿簡以爲率。長八十寸爲一，邪去日十萬裡，日徑即千二百五十裡。以理推之，法雲天之處心高於外衡六萬裡者，此乃語與術違。句六尺，股八尺，弦十尺，角隅正方自然之數。蓋依繩水之定，施之於表矩。然則天無別體，用日以爲高下。術既隨平而遷，高下從何而出。語術相違，是爲大失。又按二表下地，依水準法定其高下。若北表地高則以爲句以間爲弦。置其高數，其影乘之，其表除之所得益股爲定間。若北表下者，亦置所下，以法乘、除，所得以減股爲定間。又以高、下之數與間相約，爲地高、遠之率。求遠者，影乘定間，差法而一，所得加影，日之遠也。求高者，表乘定間，差法而一，所得加表，日之高也。求邪去地者，弦乘定間，差法而一所得加弦，日邪去地。此三等至皆以日爲正。求日下地高下者置戴日之遠近，地高下率乘之，如間率而一，所得爲日下地高下。形勢隨殺與表間同，可依此率。若形勢不等，非代所知。率日徑求日大小者，徑率乘間，如法而一，得日徑。此徑當即得，不待影長六尺。凡度日者，先須定二矩水準者，影南北，立句齊高四尺，相去二丈。以二弦候牽於句上，並率二則擬爲候影。句上立表，弦下望日。前一則上畔，後一則下畔，引則就影，令與表日參直。二至前後三四日間，影不移處，即是當以候表，並望人取一影亦可，日徑影端表頭爲則。然地有高下，表望不同，後六術乃窮其實。第一，後高前下術。高爲句，表間爲弦。後復影爲所求率，表爲所有率，以句爲所有數。所得益股爲定間。第二，後下術。以其所下爲句，表間爲弦。置其所下，以影乘表除，所得減股，餘爲定間。第三，邪下術，依其北高之率高其句影，令與地勢隆殺相似，餘同平法。假令髀邪下而南，其邪亦同，不須別望。但弦短與句股不得相應。其南裡數亦隨地勢，不得校平。平則促。若用此術，但得南望。若北望者，即用句影南下之術，當北高之地。第四，邪上術。依其後下之率下其句影，此謂迴望北極以爲高遠者，望去取差亦同南望。此術弦長，亦與句股不得相應。唯得北望，不得南望。若南望者，即用句影北高之術。第五，平術。不論高下周髀度日用此平術。故東、西、南、北四望皆通。近遠一差，不須別術。第六術者是外衡。其經雲四十七萬六千里。半之，得二十三萬八千里者，是外衡去天心之處。心高於外衡六萬裡爲率，南行二十三萬八千里，下校六萬裡約之，得南行一百一十九裡，下校三十裡。一百一十九步，差下三十步，則三十九步太平步，差下十步。以此爲準，則不合有平地。地既不平而用術尤乖理驗。且自古論晷影差變，每有不同。今略其梗概，取其推步之要。《尚書考靈曜》雲：「日永影尺五寸，日短一十三尺。日正南千里而減一寸。」張衡《靈憲》雲：「懸天之晷，薄地之儀，皆移千里而差一寸。」鄭玄注《周禮》雲：「凡日影於地，千里而差一寸。」王蕃、薑岌因此爲説。按前諸説，差數並同，其言更出書，非真有此。以事考量，恐非實矣。謹案宋元嘉十九年歲在壬午，澶使往交州度日影，夏至之日影在表南三寸二分。《太康地理志》，交趾去洛陽一萬一千里，陽城去洛陽一百八十裡。交趾西南望陽城、洛陽，在其東北，較而言之今陽城去交趾近於洛陽去交趾一百八十裡則交趾去陽城一萬八百二十裡而影差尺有八寸二分，是六百里而影差一寸也。況復人刪迂迴，羊腸曲折，方於鳥道，所較彌多。以事驗之，又未盈五百里而差一寸，明矣。千里之言，固非實也。何承天又雲：「詔以土圭測影，考校二至，差三日有餘。從來積歲及交州所上，檢其增減，亦相符合。」此則影差之驗也。周禮大司徒職曰：「夏至之影尺有五寸。」馬融以爲洛陽，鄭玄以爲陽城。《尚書考靈曜》：「日永影一尺五寸。」鄭玄以爲陽城日短十三尺。《易緯通卦驗》：「夏至影尺有四寸八分，冬至一丈三尺。」劉向《洪範傳》：「夏至影一尺五寸八分。」是時漢都長安，而向不言測刪處所，若在長安，則非晷影之正也。夏至刪長一尺五寸八分，冬至一丈三尺一寸四分。向又雲「春秋分長七尺三寸六分」，此即總是虛妄。《後漢曆志》：「夏至影一尺五寸。」後漢洛陽冬至一丈三尺。自梁天監已前並同此數。幾景初，夏至影一尺五寸。幾初都許昌，與穎川相近。後都洛陽，又在地中之數。但《易緯》因漢曆舊影，似不別影之，冬至一丈三尺。晉薑岌影一尺五寸。宋都建康在江表，驗影之數遙取陽城，冬至一丈三尺。宋大明祖沖之曆，夏至刪一尺五寸。宋都秣陵遙取影同前，冬至一丈三尺。後魏信都芳注《周髀四術》雲（按永平元年戊子是梁天監之七年也），見洛陽測影，又見公孫崇集諸朝士共觀祕書影，同是夏至之日以八尺之表測日中影，皆長一尺五寸八分，雖無六寸，近六寸。梁武帝大同十年，太史令虞劇以九尺表於江左建康測夏至日中影，長一尺三寸二分。以八尺表測之，影長一尺一寸七分強。冬至一丈三尺七分，八尺表影長一丈一尺六寸二分弱。隋開皇元年，冬至影長一丈二尺七寸二分。開皇二年，夏至影一尺四寸八分。冬至長安測，夏至洛陽測。及王邵《隋靈曜志》，冬至一丈二尺七寸二分，長安測也。開皇四年，夏至一尺四寸八分，洛陽測也。冬至一丈二尺八寸八分，洛陽測也。大唐貞觀二年己醜五月二十三日癸亥夏至，中影一尺四寸六分，長安測也。十一月二十九日丙寅冬至，中影一丈二尺六寸三分，長安測也。按漢、魏及隋所記夏至中影或長或短，齊其盈縮之中，則夏至之影尺有五寸爲近定實矣。以《周官》推之，洛陽爲所交會，則冬至一丈二尺五寸亦爲近矣。按梁武帝都金陵，去洛陽南北大較千里。以尺表令其有九尺影，則大同十年江左八尺表夏至中影長一尺一寸七分。若是爲夏至八尺表千里而差三寸強矣。此推驗即是夏至影差升降不同，南北遠近數亦有異。若以一等永定，恐皆乖理之實。