《曆算全書》

既知太陽緯度，又知本地裡差、則任舉一日可知太陽午正之高度，而測影不難矣。 然又要知句股演算法及割圓八線。 凡測影有二法一是用直表而取平地之影又名直影。一是用橫表而取壁上之影。又名倒影。 此兩者皆是句股形。 右橫表取影是一箇倒句股形。 直表取影是一個正句股形。 古人用八尺表取影，只用直表、直影，故前所論者亦直影也。 凡此句股之法，生於割圓八線。 何以謂之割圓？周天三百六十度，今取其若干度而算之，是將渾淪圓形剖開算之，故曰割圓也。 割圓有八種線，俱是算句股之法，今取日影，則所用者切線也。切線有正有餘，此因直表取影，故所用者又是餘切線也。 凡測影者，先以緯度及裡差得太陽高度，即用所得高度入八線中，查本度之餘切，即得所求直影。 假如前推四月初一日，太陽高六十四度一十四分，即於八線表中尋六十四度十四分之餘切線，便是所得直影。 八線表在曆書中，其查法每度六十分。自四十五度以前自上而下，四十五度以後至九十度自下而上。其順下逆上，俱自一分起，至六十分止。俱要看表旁之分號，對而取之。 甲乙爲半徑，爲股，以當表丙。乙爲餘切線，爲句。以當影甲。丙爲日光斜弦。 太陽在已，光射於表端之甲，直至於丙，成甲乙丙句股形。 其己庚高度與戊丁相對之度等用戊一出天頂丁即如用己庚也。 以戊丁爲主則丁乙爲餘度而丙乙者即戊丁高度之餘切線也。 查八線表法 餘切線求直影圖 先查某度，再查某線，再查某分，以橫直相遇處取之。 其度數有寫在高處者，自〇度起至四十四度止。有寫在下麵者。自四十五度起，至九十度止。 其八線之號，有寫在上一層者有寫在下一層者。其分數有自上而下者，有自下而上者，此無他故也。只看度數寫在高處者，其八線之號如正切等。亦即寫在上一層，而其分數亦自上而下也。若度數寫在下麵者，其八線之號亦即寫在下一層，而其分數亦自下而上也。凡一度俱有兩張，一張自〇分至三十分，一張自三十分至六十分。 假如前推太陽高六十四度，便知此度數寫在下麵，即於表中尋下麵左角上寫有六四字樣者，此則六十四度之表也。度既寫在下，便從下一層橫看八線之號，至餘切字樣處認定，此即六十四度餘切之行也。又因度下有一十四分便向表中原寫六四字樣處接了便是。〇分自此逆上一分二分以至十四分止是所用之橫格也。依此十四分之號橫看，至餘切之行，其中所書便是六十四度十四分之餘切線數矣，他倣此。若依前加太陽十五分，便尋三十分之號，如法求之。 又式 康熙辛未七月初四日丁亥，測正午時日影。京師立表。 前月二十八日壬午卯時交大暑節。 本日子正太陽度鬼宿三度七分爲六宮四度三十三分。 午正太陽度鬼宿三度三十六分，爲六宮五度〇二分。 黃緯十九度〇五分，在北。 京師赤道高五十度。午正太陽高度六十九度〇五分。 餘切線〇三八三八六。 立八尺表，正午日影該三尺〇七分。 凡立表，須正取影之地，須平，又須正對子午。 又按：此直表也，故當乙太陽半徑加高度而取直影。用餘切。 若橫表，即當乙太陽半徑減高度而取倒影，用正切。此測影中最精之理，不可不知。 皖城北極高三十一度，赤道高五十九度，立表八尺，冬至日在赤道外二十三度三十一分半。午正太陽高三十五度二十八分半。餘切線一四〇〇六五。直影宜加太陽半徑十五分奇，共高三十五度四十四分其餘切線一三八九九四，以表數八尺乘餘切線得影長一丈一尺一寸二分。若求倒影，宜減太陽半徑十五分奇，得高三十五度一十三分。 四省表影立成 《四省表影立成》者，爲友人馬德稱氏作也。德稱系本西域遠祖瑪沙伊克、瑪哈齊兩編修公，以善治曆見知。洪武朝受敕譯西書，其文禦製稱爲不朽之智人。欽天監特置專科肄習，子孫世其官，皆精其業，西域之言曆者宗焉。西域之曆有二，一曰動的月，以弦望晦朔爲序，乃太陰曆也，故齋期以見月爲滿。一曰不動的月，以二十四定 氣爲端，乃太陽曆也，故禮拜以晷景爲憑。然此二者皆有裡差，而今回回家所傳二十四節氣表景尺度共祗一術，故德稱氏疑焉，謂其不足以盡諸省直之用，而欲有以是正之。以屬餘餘既稔知西域之以天爲教，以曆爲學經數百年能守其舊俗不變，可謂有恆而德。稱氏又能不牽於習見，踵事加詳，以致其恪恭鄭重之意，深爲可敬。遂力疾爲之布算以歸之。夫曆學至今日明且確矣，而泰西氏之法，大綱多出於回回。竊意如各省直裡差之説必西域所自有或當時存而未譯或譯之而未傳或傳之久而殘缺皆未可知。吾願德稱氏與其西域之耆舊尚爲之詳徵焉，而出以告世。庶有以證吾之説而釋夫傳者之疑以正其疎也。 四省直節氣定日表影考定 立表十尺若表短則用折算，假如用表一尺，則以尺爲寸，寸爲分，分爲釐，皆折取十分之一。若表八尺，則尺取八寸，爲十之八。 【詳圖表見原書】 右表影皆以直省城內爲準，附近二百里內外可用。其餘州縣各各不同，須以彼處北極高度定之。 一、凡立表須直，不得稍偏於東西南北，則影爲之變。須以線垂而準之：古所謂八綫附臬者是也。 一、植表取影之地須極平如砥，若微有高下，陂陀坑坎坳垤則影不應矣，當以水準之。 一、量表量影之尺度，須極勻極細。 一、取正午之影須在正南，然天上正南非羅針所指之正南也，須於羅針正午之西稍偏取之。或曰：丙午之間縫針與臬影合，亦非也。蓋針所指，在在不同，如金陵則偏三度。此非正方案，則不能定，或以曆書法用北極附近星取之。 以上四事，皆求表影者所當知。 此外又有節氣加時在午前、午後之不同，則影亦爲之加減。 假如冬至影極長，而冬至不在正午，或午前，或午後，則其午影必微差而短。 又如夏至影極短，而夏至不在正午，或午前，或午後，則其午影必微長。 又如小寒至芒種十一氣，影自長而短，若其加時在午前，則午影必微短；加時在午後，則午影必微長。 又如小暑至大雪十一氣，影自短而長，若其加時在午前，則午影必微長；加時在午後則午影必微短。 按：以上加減只在分釐。若所用徑尺之表初無損益，可無深論也。惟春秋分及前後兩節晷差頗速若其加時又在亥子之間，則距午甚遠，爲差益大，不可不知。 午正太陽高九十度，已至天頂，則日中無影。其過此者皆在天頂之北，而生南影。法當以所帶零度轉減九十度，而用其餘命爲太陽，在天頂北之高度。 北極出地二十度，則赤道在天頂南二十度，而夏至日躔在赤道北二十三度半，故其日午時已過天頂北三度，而影在表南。 芒種日午正亦過天頂北二度奇，影亦在南。 凡午影芒種必高於小滿，夏至又高於芒種，今皆反之，亦此故也。 自北極高二十三度以前，倣此論之。 宜邑謝野臣至中州尋古測景之臺，所立石表尚存，其形似墖，上小下大，夏至日中無影，蓋其根盤半徑即日景所到，如句，高尖距地之數爲表，如股。亦表八尺，土圭尺有五寸之比例也。以此推之，則向南州邑並可作夏至無影之石表。