《新法算書》

依渾儀製日晷法 太陽左旋以定晝夜十二時，二十四小時則常依赤道三度四十五分爲一刻，每十五度爲一小時。故諸圈以二十四平分之而每分又以四平分之乃得時盤必周分，各與赤道皆等之度相應。令之竪立與赤道高下等而中依直角安表，則表景所射即能定時，而赤道晷所繇起也。今不必恒以竪立合赤道圈，或正立面向南北爲立晷，或正倒面向天頂爲地平晷，或復正立面東西正向爲子午晷，或又正立面偏正南左右或不正立面偏地平各以所向天上之圈得名。而各以其面承接日光，故立表或正或斜不一，即表射景遠近與面分時刻廣狹亦不得一。雖太陽左旋同諸時刻平行同，而線則實繇景得，射景既異，相距之線安得不異。此諸晷公有日平行之原，而私則各有所異，總於本儀可得而明矣。 求諸晷方位法 日晷之製，原以度數考求，而度數必有相應之定處，則又在取準方位焉。故凡平面日晷所向方位多變，大約相較有二原，或較地平即與之爲平行，有正立有曲立種種不同，皆應度數不等，或較子午圈亦與之爲平行，乃有偏左偏右，而多寡復以間度爲則者。又或有偏于地平，偏於子午，兼地平子午而別爲一種。【略】 製正球日晷 凡日晷之表等雖北極出地不等，得各時線相距等者，謂之正球晷。此其製原易，可不須球，然舍球又無以明其理也。如赤道晷，因諸時圈與赤道交，其相距皆於球心相切，設以本儀之樞當表其射景必順時圈行赤道，使各依極安儀而表之長短同，則時圈在赤道上相距之度亦同。或論赤極晷，因其面正合卯酉時圈，設本面距儀心任表長短等，而諸時圈與中心相切，從心過晷面相距不等，則正午線合儀樞可當儀面中線，而餘線左右相距漸遠，皆平行如上圖。以長方形爲晷面，其丙丁橫線者即赤道與之相切線，其甲午正南北線者，即合儀樞從赤道頂過時圈所爲線也。立圈者，乃赤道周平分以指諸時圈相交之點者也。蓋時圈必皆切表頂，當地心是而復開之使過至丙丁線上，爲時線所居之界。故本晷諸線交心在面外，而以表頂爲心，彼此相距皆平行。今設表長短同，雖極高多寡不同，其線則二晷相距無異。又設甲午線依天樞斜豎令晷面偏東或西則午時線不能定在面之中，必依面所偏多寡，而晷面亦移左右不等。至其面向正東、正西，乃以中線爲卯正、酉正，餘線漸遠，惟午時線不入晷面，而丙丁線則尚爲赤道所切。雖時線皆平行乃晷則應以一面斜起庶合赤道高度而得中所橫線其高低度與之等也。 製斜球正日晷 凡日晷之表等因北極出地不等，得各時線相距亦不等者，謂之斜球晷。其製法原不一，今用渾儀列簡法如左，如製地平晷，先起儀依本北極高，乃令過極圈正合子午圈，而子午圈之左或右，每於赤道上查十五度，移居子午圈下，即識過極圈交地平正南北度。復於赤道上查十五度，如前移居子午圈下，又得過極圈交地平度。以此逓查逓移，必至盡過極圈交地平度之界而止，則諸時線在晷面相距之廣全得焉。蓋晷面上先作兩直線以直角相交，其一爲子午線，其一爲卯酉線。而以交點爲心任意大小作虛圈，或用比例尺，或依本圈預分度，取儀上地平所識度爲法。自卯酉線至子午線或反之》以應儀上所識度爲準。從心出線過此者，皆平晷時線也。如北極高四十度，以過春分經圈，居子午圈下，必在地平之正南北。初度爲午正移之去東十五度依赤道度得經圈東交地平十度，距子午圈算爲午初移之去西十五度，得經圈西交地平亦十度爲未初。距午前後等時恒得距度等巳正及未正約得二十度半，巳初及申初約得三十三度，辰正申正得四十八度，辰初酉初得六十七度半，至卯正酉正則各滿九十度。而卯酉外與前距時等必皆得度等。若求刻線，亦依赤道上三度四十五分爲一刻，如前法逓查之。安表使之出晷心向午正，距晷面漸遠以北極出地度爲則，必懸子午線上，以正合本地天樞是也。若正南北立晷，亦用儀上赤道，求距度漸移至子午圈，法同前。其所異惟在交度，蓋高弧與過極圈相遇處爲交度，而高弧則定居東西，或卯正酉正苟不用高弧，惟以極高所餘度求之。如北極高四十度，依其地製立晷必使儀北極出地平上五十度。如前法定時線蓋五十度，即極高四十度之餘度，其安表漸距晷面正下以至本地赤道高爲止，此晷自卯正至酉正獨十二小時向南，而卯前酉後之時面皆向北，其表漸距晷面與前同，從上反求得正矣。 製斜球單偏日晷 若不正立面向南北，製法略與正立同，但用高弧必依其偏容有異。蓋向南面偏北者，必查偏度於子午圈，從儀頂去北。即此安高弧面向南者，則偏度宜求於頂之南。以此界出高弧其向北晷面偏南者，即依偏度於頂南求界或面反偏北尤宜於頂北求界。總之偏度多寡及所向方位，皆應查於子午圈距頂南或北之處，以安高弧，而高弧下至地平恒在正東正西之點，表位必在正午時線。從晷心漸距其面與高弧上距北極等若不正立面偏正東正西，法用立象半圈先於高弧上取偏度如設面向東而偏西三十度令高弧自頂下至正西量三十度爲限，即安半圈於其限以當地平，必識其與極圈相交之點爲各時線之距。如北極高四十度，安高弧及半圈如前，將時盤與夏至圈對試於太陽出時，必得春分經圈北交半圈十六度，卯初交十二度漸過以南交二十六度後七十等度，至未正一刻餘太陽過半圈，西晷面無景，其本晷表位偏午正線，左右距晷面較地平面高不等，求其位法使經圈與立象半圈以直角相交。即因經圈自交點至極中弧得表之高半圈，自交點至交北地平得表位與午正線相距之遠如依前極高等數則表距三十八度，高二十二度。若正立面偏東或西，製法亦與正向南北立晷同，獨高弧下至地平不得定在正東正西之處，必依晷面偏度因之距東西等。如面向南偏西三十度，即高弧距正西亦北去三十度，面偏東必高弧距正西之南向北。面偏東西皆倣此。但偏晷所得高弧度午前後必異，時刻多寡不等。試令北極高四十度，晷面向南偏西三十度，先以高弧北距正西三十度轉經圈西十五度，赤道上取或用時盤亦同得其交高弧點距頂十二度爲未初，乃自正午相距線也。又漸轉儀每十五度爲限，得午後時刻各依交度不同之廣，未正交二十三度，申初交三十三度半，申正交四十四度，酉初交五十五度，酉正交六十九度，戌初交八十七度。復移高弧在東距正東之南亦三十度，隨轉過極圈東十五度，得午初交高弧九度，巳正交二十九度，巳初交四十八度，辰正交七十度，辰初則交地平。雖夏日最長，亦不能全見，午前半晝景，安表必先查其偏東西若干，距晷面多寡，法令高弧至地平居本晷偏度限晷面偏東用高弧於東地平偏西用高弧於西乃轉儀使過極圈距子午圈與偏度等，必得以直角交高弧，則自頂至交點於高弧上得表在晷面上垂線之度，自極至交點於經圈上得表距晷面之度。假如前設偏西三十度之晷，將高弧下至西地平北距正西三十度，過極圈亦應於北地平距子午圈三十度，得其與高弧以直角相交，則自交點至北極中約四十二度。爲表出心漸距晷面之高，復自交點至頂約三十度，爲表漸距中垂線之廣，此立晷之面南偏西，用高弧及經圈之法與面北偏東而面南偏東與面北偏西者亦同，但表末於面南晷以向南極爲正而面北晷反應向北極也。 製斜球重偏日晷 若不正立面向南北復偏東西，則較本晷面與地平面或偏向或偏離爲交角，時鋭時鈍之異，故依偏容分別其晷爲二種。先論鋭角向地平者，法查本晷所偏東西度於其本向地平或晷向西南東南，必從子午圈南交地平起，其所止限爲高弧，當至之處則自頂依高弧求晷面偏地平度。即以合度處於球上作識復自高弧交地平處去北九十度爲限，因之以安高弧，移居頂而過前所識處，即於高弧上得諸時線相距之度，則因交前所識及子午圈間弧，爲晷面中垂線距正午線之廣也。次轉球過極圈，以十五度爲交高弧之界，與前法同，得午前或後依面向東或西各時線之距，而餘方則移高弧於正對地平度，轉球使極圈漸交高弧，各時俱可定矣。若以鈍角向地平，法反查偏東西度於本晷所向正對地平，或晷向西南、東南，則從子午圈北交地平起，所止限亦爲高弧當至之處，乃於球上作識。依之求時線相距，皆與前同，獨高弧宜去南九十度以定復安之限。雖高弧不能過球上所識，並至子午圈，惟令立象半圈，過正相對地平而左右轉球，則午前後時線度半圈上可得。假如北極高四十度，晷面偏西距正南三十度，向地平偏二十度，必使高弧在子午圈西與地平三十度合，令夏至圈正居子午圈下，乃自頂依高弧量二十度得近黃道處，爲實沈宮二十一度與高弧二十度合爲點作識後復安高弧或立象半圈在地平正西之北三十度，從前點過球尚不動與正相對之度至地平，則所交子午圈處距頂約二十三度，距點一十二度，則一十二度爲晷中垂線距午正線之度，便轉球西一十五度用時盤亦可，夏至圈必交高弧八十七度，爲未初。次交七十二度，爲未正。次五十八度，次四十五度，次三十三度，次一十八度，末五度，爲申初、申正等時，以至戌初始盡。復轉球令夏至圈距子午東一十五度，得交對度高弧六十四度，爲午初。次四十六度，次二十六度，次一十一度，次即入地平，蓋辰初不載晷面，因其偏西故也。欲安表，必先查其應距晷面若干，偏午正線左右若干，因而從晷心出依偏距度起射景與各時正合。求距面度法，使高弧在晷正面地平，末求餘方時之前漸轉球以過夏至圈得北極及高弧中最小之弧，即因本弧量表距面之廣，或於本方使過至圈與高弧以直角交，則自交處至極中弧亦爲表距面度。查表偏午正法，用高弧交過至圈，與前同，獨偏度當於高弧上，從交點至子午圈上求之，必中弧爲相應之距度。假如前晷求表安高弧在西地平北去正西三士度，使之上距頂南二十三度，轉球令過至圈以直角交高弧，即從交點至北極中約得六十度，爲表距晷面度。復從交點至高弧切子午圈約得五十五度，爲表距午正時線之度。餘倣此。 畧節氣線於正球日晷 凡節氣在黃道上正相對者，以較赤道其距內外天上必等。蓋隨宗動左旋必爲平行圈故乃平晷節氣線則不然雖赤道線爲直線而內外節氣線其形甚曲多緣彼此相距漸遠，或不以赤道爲中界，故較赤道平有異向焉。惟赤道晷之節氣線亦自爲平行圈，亦內外相距等，其形正與天合。試就渾儀先論之設儀上赤道爲實圈，天樞上任取其表之長作識，切赤道面，向外並取過極圈上與表相等弧識之，從所識處量各節氣之距，而每界出直線過表頂得，凡線至晷面所正之處因以定節氣當居之位焉。法用規器以赤道心爲心，以線止位爲界，作平行圖如左，外圈限赤道晷面，周平分爲時刻，其中心出表爲甲戊，設庚己辛爲過極圈，即從庚外取庚己與甲戊等，而己爲諸節氣距內外之中界，蓋以戊爲心作辛己壬弧，從己至辛至壬取二十三度三十一分得夏至及冬至界，取二十度一十三分得大暑、小滿，及大寒、小雪，其餘節氣皆倣此。乃從其各界引辛戊乙等直線，得乙丙丁等圈，於向北晷爲赤道北節氣，向南晷爲赤道南節氣也。凡正球晷之節氣線，以赤道爲中線，餘線凡相對者左右距必等，而各漸開距必不等。法設儀心爲表頂，其面任距遠近必依表長短爲則，與前製晷法同。即將過極圈於赤道內外識各節氣之距度，隨以各度出直線，從儀心過使至本時線上，必得赤道在中，左右諸點爲節氣應過之處，此即界線之所以然。臨製時以表頂爲心，時線交赤道點爲界作圈，即得切割等線，依八線表取用，蓋赤道爲全數時線，左右爲切線。從圈心出線與時線相交得割線，故將全數載比例尺餘線依之取載晷面是也。如後圖，上下爲時線，設製赤極晷，即午正居中，卯酉居邊；製東西正向晷午正居邊，卯酉居中，而赤道橫交諸時線。彼此必同，甲丙爲表長，依之爲圈，而左右定節氣之距，如丙已、丙丁等弧，即得甲丙全數，丙己、丙丁直線爲切線，甲己、甲丁爲割線，以定夏至及冬至於午時。或卯酉時線而定兩至中節氣亦不異此。試於申巳時線必以乙爲心表頂之距作壬丁辛圈左右取丁壬、丁辛各至之距弧餘節氣線弧皆與前同。即乙丁爲全數丁壬、丁辛直線爲切線，甲壬、甲辛爲割線，而節氣宜過其點位亦依之定矣。又試于午初、酉初，即丙爲心以作圈求子庚、子癸兩至、距赤道中界，而求他節氣，皆同一法也。 界節氣線於斜球日晷 凡斜球晷之節氣線，雖以赤道分內外，然各節氣正相對者距赤道遠近不等，而自爲曲形，則其曲必等。故設過極圈以定各節氣初度之距，令出直線過儀心，至各時線上皆與前同法。先依本地北極高求各節，依各時應出地平高，見前二卷隨以高弧考對即儀心。當表末依所行直線各至時線爲點，而每時識點處連之必爲曲線，以指本節氣也。假如儀心在乙，以辛庚爲晷面得甲乙表，癸巳爲過極圈，設北極高四十度欲製地平晷節氣線，即辛庚爲午時線，辛壬爲天樞距面四十度，入地于辛以定出時線之心，任安表於甲，即因表鋭當地心，亦並爲過極圈之心，得癸丁弧爲赤道出地平高，而餘節氣初度則必距赤道內外皆在戊己二至之中。設從各距度引直線至乙點，復引過晷面午正線，而赤道止於丙夏至，在子冬至過赤道下，在庚又設過極圈在表頂，周轉以對未申等時。午前後同而赤道二至等節氣，初度皆合高弧上，本時所對高度令出直線過表頂，必至本時線爲點以引節氣於此過矣。凡製立晷節氣線，即辛壬距晷面，宜依赤道高癸丁弧，依北極出地高癸爲天頂，癸丁弧即赤道距頂弧，必與北極出地等故。餘節氣度俱依之出直線，至午未等時線上，以赤道上者爲冬，赤道下者爲夏，則各節氣自明矣。如圖，以乙爲心甲爲界，作甲醜弧即乙子、乙丙、乙庚等線皆爲割線，甲子、甲丙、甲庚皆爲切線。以表爲全數查節氣，依各時高度於八線表，用比例尺或平分直線，如法簡取，蓋依本北極出地地平晷用餘切線立晷，反用正切線何也？地平晷算高度，於癸巳弧而用甲醜弧之切線立晷，則於癸巳算節氣距面之弧，其餘即正高度亦應甲醜上取切線也。偏晷同一法，以各節氣依各時高度出直線，過表頂下至晷面定其曲線宜引之點，則除正向南北偏晷外，其餘安表必於午正線外求位。蓋因天樞斜過晷面，故乃樞正下別爲直線，從晷心出與赤道線以直角相交，則線上交表線中節氣線相距最近，左右復開展相距必等，依前圖論表既不竪在午正線而在天樞線上則癸乙過極圈徑不以本線平行且以直角與甲乙表相交雖轉以對各時線交表，法必不變矣。 界地平經緯等線於日晷 凡日晷有面與表爲公，而載線其私也。一切定時分、節氣、列方位，種種各異，種種能互爲用而總入諸晷之面與表矣。即地平一晷時刻節氣線外，尚有可界於其上者，如地平經線太陽方位線相交於表位，自爲直線其相距必等，地平緯線太陽高度以表位爲心，周皆爲平行圈線相距不等，十二舍線爲南北平行，乃相距遠近不等之直線太陽出沒後時線皆偏左或右，皆斜交赤道線亦自爲直線。七政時線左右向，其中線亦皆爲直線。晝夜長短線復倣節氣線之曲形，而疎密復異。東西諸方相距線與時線同，任用多寡乃所以異，何也？地平經線，即高弧自頂至地平所爲者儀上移高弧任取十度，或多或少距限恒等而依之視正對地平度必爲直線。故恒得儀心居間，此本線所以合於表位也。其地平緯線，必安高弧於定處，從下漸上以相等之距限視儀心，則以目光線所射之面爲界，初寬而後狹。若移高弧他處，亦依此爲法，此以表位爲心，而圖平行圈之所以然也。其製法惟量表大小，依之開比例尺於上取各距度之切線從表位帶入面上爲圈，即地平緯度限。則表景所至必指太陽出地平高度，隨將地平緯度平分或五或十等距度，從午正線起則表位所出直線皆過其分弧界。即地平經度已定，而表景所至必指太陽所向方位。論十二舍線即立象半圈，所爲本圈儀上皆合子午圈，交地平爲一點者，但若左右倒耳。故正東西從儀上視之至面，必爲平行直線，其製法亦不異正向東西之偏晷也。論太陽出沒已距時線，即過極圈依各赤緯度所爲起儀，依本極高將時盤午正與過極圈合，令之轉東或西，乙太陽本方春秋分出沒爲止。則即地平分赤道及二至圈皆不等，而赤道恒得六時，至午正夏至，若過冬至反不及。今設去夷地平圈上一時或二時，至滿半晝時，皆並過橫線至第六時，其線赤道上必交子午圈。夏至上未，及冬至上巳，過即因其橫線指太陽出沒相離時若干，依之從渾儀心視晷面必皆斜交赤道而愈離愈斜。法必先於晷面，界赤道線就內或外加一節氣得晝時雙數者，因乙太陽至本節氣出沒之時定爲初時，而餘時漸依之列也。如北極高四十度太陽至立夏晝長約十四時而立冬止得十時皆雙數則因立冬日出辰初必得辰正爲距日出第一時而餘時次之立夏日沒戌初，而戌正即日沒後第一時，餘時亦隨次之。今赤道上辰初恒爲日出後第一時，戌初爲日沒後之初時，即前所識節氣線上諸時點，與赤道上相應之時點，以直線連引之得太陽出沒後諸時線也。論七政時線，其向中線繇赤道等圈則自午前及午後以至地平皆平分各六時，蓋夏至午前後弧大於冬至午前後之各弧，而赤道得居中，必與諸時線斜相交，是以其線自向中也。法先依最長之晝平分時盤或六或十二分，遂于地平求各時相距度，皆依前二卷帶入夏至節氣，必得其平分午正左右各六時也。然後將赤道與夏至相應之時，以直線連之得左右皆同，皆與斜球斜交赤道，其晝長短線總繇赤道緯度任用疎或密，故其理不異，節氣線製法亦同。若諸方相距東西線，皆子午圈所爲與時圈同，必以過兩極圈取準，與製地平晷線同法。以上晷面所得諸線，依本容因之有異，必從其儀上所得圈視儀心至面止，俱依前法。如試於立晷，即地平與赤道爲平行，故地平緯似節氣線形地平經皆上下平行遠疎而近午時則密全倣赤極晷線。十二舍線皆出地平與子午線相交，太陽出沒距時線如前，地平面同，七政線亦出地平交子午線之點，晝夜長短亦如節氣線，諸方相距東西線亦與正時線同製法，各隨本類全載日晷本欵，此不復詳。