《度算釋例》

第九割線舊名表心線，今按割線非表心。又割線之用甚多，非只作日晷一事，故直名割線爲是。 割線不平分，先小後大，並與切線略同。故亦只作八十度，或只作六十度亦可。 分法：用割線本表八十度之割線五七五，平分之。其初點與切線四十五度等。次依表作度加識。 用法一：三角形以割線求角。 假如有甲乙丙三角形，求甲角法。任於甲角旁之一邉截戊甲十寸，作垂線如戊丁。截又一邉于丁，得丁甲十九寸。次以十數爲割線初點之底定尺。而以十九數爲底，進退求等數，得五十八度一十七分。爲甲角之度。 用法二：作平面日晷兼用割切二線。 法曰，先作子午直線，卯酉橫線，十字相交於甲。以甲爲午正時。從甲左右，儘橫線盡處爲度，於切線八十二度半爲底定尺。次於本線七度半取底向卯酉橫線上識之。自甲點起爲第一時，如甲丙，甲乙。次每加七度半取底，如前作識，爲各時分。如七度半加之，成十五度、即第二時。又逓加，如二十二度半，三十度，三十七度半，四十五度五土十車二度半，六十度，六十七度半，七十五度，至八十二度半*合線末元定之點。若逓加三度四十五分，而取底作識即每時四刻全矣。按，每七度半加點，乃二刻也。今每三度四十五分，則一刻加點。 訂定法曰橫線上定時刻訖次取甲交點左右各十二刻之度，即元定四十五度之切線，亦即半徑全數。爲割線上北極高度之底定尺。而取割線初點之底，爲表長。如壬庚。 次以表長當半徑，爲切線四十五之底定尺。而檢北極高度之正切，取底，自甲點向南截之，如甲壬。以壬爲表位，又於北極高度之餘切線取底自表位壬向南截之如壬辛。以辛爲晷心，末自晷心辛，向橫線上原定時刻，作斜直線引長之，得時刻。 時刻在子午線西者，乙爲午初，丁爲巳正，癸爲巳初，又加之即辰正，又加之即辰初。在子午線東者，丙爲未初，戊爲未正，巳爲申初，又加之即申正又加之即酉初。並逓加四刻。 謹按：卯酉線，即赤道線也。二分之日，日躔赤道，日影終日行其上。庚甲割線，正對赤道。正午時日影從庚射甲成庚甲影弦。若巳末午初，則庚點之影不射甲而射乙。而庚甲影弦如半徑，乙甲如切線矣。以庚甲爲切線上半徑而遞取各七度半之切線，以定左右各時刻之點。並日影從庚所射也。然此時庚甲之度無所取，故即用赤道線四十五度之切線代之。用切線，實用庚甲也。庚甲既爲切線之半徑，則必與四十五度之切線同長。 以四十五度當半徑而取切線以定時刻此天下所同也。然赤道高度。隨各方北極之高而變庚甲割線何以能常指赤道則必於表之長短及表位之遠近別之。故以庚甲當北極高度之割線而取其初點爲表長。初點者半徑也。本宜以半徑求割線今先有割線故轉以割線求半徑也。既以庚壬表長爲半徑庚甲爲割線，則自有壬甲切線，而表位亦定矣。表位既定，則庚甲影弦能指赤道矣。何以言之表端壬庚甲角既爲極高度。則庚角必赤道高度而庚甲能指赤道也。故北極度高，則庚角大，甲角小，而庚壬表短，壬甲之距遠。北極度低則赤道高，甲角大，而庚壬表長，壬甲之距近。比例規解乃以表位定於甲點失其理矣。遂復誤以割線爲表長，餘割線爲晷心。而強以割線名爲表心線，名實盡乖，貽誤來學。此皆習其業者原未深諳強爲作解，而即有毫釐千里之差。立法者之精意亡矣，故特爲闡明之。 庚壬表，上指天頂下指地心。爲半徑壬，表位壬甲爲正切線。 辛，晷心。辛壬爲餘切線。 甲角，即赤道高度。 用法三：先有表，求作日晷。借用前圖可解。 法：先作子午直線，任於線中定一點爲表位，如壬。乃以表長數壬庚爲切線四十五度之底定尺。而取本方北極出地度之底，得壬甲正切度，於表位北作點如甲次於甲點作卯酉橫線，與子午線十字相交，即赤道線春秋分日影所到也。又取極高餘度之底得壬辛餘切線，于表位南作點，如辛，即晷心也。若自表端庚，作直線至晷心辛，即爲兩極軸線。辛指南極，庚指北極也。次以表長庚壬與壬甲正切相連作正方角，則庚壬如句，壬甲如股而取其弦線庚甲，即極出地正割線也。次以庚甲爲切線四十五度之底定尺，而各取七度半之底累加之於甲點左右作識於卯酉橫線上。末自晷心辛作線，向所識點，即得午前後時刻。並如前法。 用法四：有立面。向正南作日晷，並同平面法。但以北極高度之餘切線定表位，以正切線定晷心，則自晷心作線至表端，能上指北極，爲兩極軸線。又立晷書時刻並逆旋，與平面反。然以立晷正立於北，與平晷相連，成垂線，則其時刻一一相符。 用法五：用橫表作向東向西日晷。假如立面向正東，法于近南作直線，上指天頂下指地心。近上作橫線，與地平相應。兩線相交於甲，以甲爲心，於兩線間作象限弧。自下起，數至本方北極出地度止。自此向甲心作斜直線，以分弧度，此線即爲赤道。次以甲爲表位，用橫表乙甲之長取數，爲切線四十五度之底定尺。遞取十五度切線從心向赤道線累加之，作識定時。即春秋分日影所到也。若分二刻，則逓取七度半。細分每刻則逓取三度四十五分。次於甲心作橫斜線如丁戊，爲赤道之垂線。其餘時刻點各作線，與丁戊平行。亦並與赤道十字相交。次於元定尺上，即以表長爲四十五度所定。取二十三度半之切線爲度，於甲左右截之爲界，如丁甲如戊甲。即二至卯正時日影所到也。二分日卯正，則乙甲表正對日光無影。分前後則有緯度，而影亦漸生，日日不同。然不離丁戊線。至二至而極，冬至影在北如丁。夏至影在南如戊。以此爲界。向西酉正時，亦然。仍用元尺，取每十五度之黃赤距緯。切線，作于丁戊線內，從甲點左右作識。得各節氣卯正日影。或取三十度切線，則所得每月中氣，酉正亦然。 次以乙甲表長，爲割線初點之底定尺，而取十五度之割線，爲二分日在辰初刻之影弦，如乙辛。即天元赤道上日離午線十五度，其光過乙至辛所成也。就以乙辛割線，爲切線四十五度之底。而取二十三度半之底，自辛點左右截橫線並如辛壬，爲冬夏至辰初刻日影所到之界。辛壬在南爲夏至，其在北爲冬至。亦然。又逓取每三十度之黃赤距緯切線，從辛至壬作點，爲各中氣界。此向南日影界乃赤道北半周節氣。其辛點向北作界爲南半周，亦然。自此而辰正，而巳初，而巳正，以至午初，並同。乃於節氣界作線聯之，即成正東日晷。其面正西立晷作法並同。但其時刻逆書自下而上。最下爲未初，次未正，次申初，次申正，次酉初，而至酉正，則橫表正對日光而無影矣。此亦二分日酉正也。其餘節氣，亦有短影而不出本線，與卯正同。 新增時刻線。以切線分時刻，本亦非誤。但切線無半度，取度難清。今另作一線，得既易。時刻尤真。 分法：依尺長短作直線，如後圖乙丙。於線端作橫垂線，如乙甲，爲乙丙垂線。又作直線略短，與設線平行，交橫線如十字。如甲巳線交橫線於甲。以甲爲心。作象限弧，六平分之，爲時限。各一分內四平之，爲刻限。次於甲心出直線，過各時限，至直線，成六時。過各刻限者，成刻。乃作識紀之。並如後圖。 尺短，移直線近甲心取之。移進線，並與原直線平行，以遇第六時第二刻爲度，如庚戊虛線。遇丁戊線於戊，即戊爲第六時之二刻。 用法：凡作日晷，並以所設半徑，置第三時爲底定尺，而取各時刻之底，移於赤道線上。午前午後並起午正左右爲第一時，依次加識，即各得午正前後時刻。並如前法。