《尺算日晷新義》

作日晷六法 第一法 斜立向正南之日晷 此晷作於平面，用時支之，使向南斜立，其斜度視各方北極高下之度，隨處可以通用。 鹿正 先定時刻 法曰：作橫線如坎離，次於坎離橫線中任定一點爲表位如兌。兌作小孔以植表也。次任取長數長約晷體九之獻兒年正一務直毋曲，細長如鍼，鋭其兩端爲表，如鹹恒。鹹恆 表植於表位兌。其一端入兌之孔，務直毋稍偏倚而表長如鹹兌。次以鹹兌表度置尺十二限處爲底定尺，勿令移動而取尺第一限至二十二限之各底，以次移於坎離線兌點之左右，右左自兌起以次蟬聯而至於坎離各作點識之。每一點爲一刻即得午前午後各刻如圖。【詳圖數據見原書】 若晷體窄小，則近午難容密點法，並取二限爲一點，則每點爲二刻，或併取四限爲一點，則每點爲半時。然自巳未正而右左爲限漸寛，仍析取每限爲是。 問：其義雲何？曰：坎離線即赤道也。每年春秋分兩日，太陽正躔赤道，日影終日行此線上，表端鹹點所指之某限，即是日某時某刻也。兌即赤道之心，故二分日正午，則鹹兌表直立正對太陽中心一點而無表影也。又曰：太陽射之弦割線影也，而其影度之見於平面則切線也。十二限者，切線之四十五度也，半徑也。尺上各限即切線各度也。以表度置尺十二限爲度，是以表度者半徑也。以表度當半徑而取其切線以定時刻，此恆理也。 問：以某度爲底者何也？曰：此定尺之法也。以規兩鋭張翕之量定某長短之度，如鹹兌表度之類乃定規，勿令兩規張翕乃張尺以規度施於兩尺之某限，如十二限之類將兩尺張翕之以就規度。既得規度則定尺。勿令兩尺張翕此以尺就規度，令兩尺某限相距之度如兩規相距之度也。規定而尺定於規也。 問：取某限爲底，何也？曰：此取兩尺各限之度之法也。兩尺既定矣，乃以規兩鋭張翕之量定兩尺間某限相距之度。如第一限至二十二限之類，既得尺度則定規，勿令兩規張翕，以便移其度入晷線也。此以規就尺度。令兩規相距之度如兩尺某限相距之度也。尺定而規定於尺也。 次定二至日太陽各時刻距赤道緯度 法曰：以鹹兌表度置尺十二限處爲底定尺而取兩尺間六限下第二分之底，移於晷線兌心之南與其北南北。而各截之，南如兌井，北如兌夬，乃于井夬作直線聯之，與坎離線十字正交於兌心，如下圖。 問：井夬之義，曰：井即夏至日正午日影所到也，夬即冬至日正午日影所到也。 問：何以知其然也？曰：每日自東而西者，太陽之經度也。一年之中太陽半年在赤道南，半年在赤道北。其自北而南、自南而北者，太陽之緯度也。緯度極北爲夏至，距赤道二十三度半。緯度極南爲冬至，距赤道亦二十三度半。南北兩緯相距四十七度故冬至日太陽在赤道南二十三度半，爲太陽緯度之極南。自此以後，太陽以次漸移而北。迨北行二十三度半而到赤道上，是日爲春分。既過春分，太陽漸離赤道而北，又北行二十三度半，而到緯度之極北，是日爲夏至。夏至日太陽在赤道北二十三度半，爲太陽緯度之極北。自此以後太陽以次漸移而南，迨南行二十三度半而到赤道上，是日爲秋分。既過秋分，太陽漸離赤道而南，又南行二十三度半而到緯度之極南，是日爲冬至。此太陽終歲行度之不易者也。右法以表長當半徑。半徑，圓徑之半也，即下圖圓心至各弧界之度。以十二限當四十五度之切線，亦即半徑也。其六限下第二分即二十三度半之切線，故其度爲冬夏至日影所到也。又曰，日南行而影則見於北，日北行而影則見于南。日晷者，取影之器也。故晷面井位南，而其日影所到非南緯冬至，乃北緯夏至也。夬位北而其日影所到非北緯夏至，乃南緯冬至也。圖則畫日道所躔，晷則畫日影所到，故其南北相反也。 次以鹹兌表長當句，而以兌心至右午初點當股。兌心至左未初點亦同乃以表端鹹至右午初點之弦度，咸至左未初之弦度亦同置尺十二限爲底定尺。而取尺六限下第二分之底移於晷面午初點處，於其點之上下截之亦移于未初點處，亦於其上下截之，各如截井夬法，亦各作直線聯之而皆與井夬線平行。即二至日午初未初日影所到也。次仍以鹹兌表長當句，而以兌心至右已左未正點當股，乃以表端鹹至右巳左未正點之弦度置尺十二限爲底定尺。其取底移於晷面巳未正點處上下截之，作線聯之，悉如前法。即二至日巳未正日影所到也。次仍用鹹兌句，而以兌心至右巳左申、初點當股，乃以鹹至右巳左申初點之弦度，置尺十二限爲底定尺。其取底移於晷面巳申初點處上下截之，作線聯之，悉如前法。即二至日巳申初日影所到也。自是右左而辰申正而卯酉正皆用鹹兌句，而以兌心至各時刻點當股，以表端鹹至各時刻點處之弦度，爲十二限之底其取底截點作線悉同前井夬法，惟右左自巳未正而右左影度漸長，點線漸寬，若能以細分之，各刻與鹹兌表長爲句股，而各取其弦度爲底以求緯度則可得二至日各刻之日影所到也。如圖。幅短借作直圖，須橫觀之。 問：二至日正午以外不用表度而用各弦度爲底，有説乎？曰：天體渾圓，日晷則寫渾于平者也，故必有影差。何也？太陽惟二分日正躔赤道腰圍之一線，故晷面赤道線直必中繩，而是日日影所到亦終日不出此線。餘節氣太陽出入於南北緯度，故晷面之影不行直線，近午則短，而東西則漸弛也。非用割線則不能求其影差。各弦度者，割線也。右法表長恆爲句，即半徑也。兌心至左右各時刻點爲股，即大圈外之切線也。表端鹹至各時刻點爲弦，即大圈外之割線兌井兌夬線。以半徑表度當半徑，十二限即四十五度，亦半徑也。而求二十三度半之度，其餘各線則以割線各影弦度當半徑，而求二十三度半之度，故能遞求遞濶而得其影差也。 次定各節氣 法曰：以兌井之度用兌夬亦同置尺十二限處爲底定尺，而取其第二限即七度半之切線之底，自兌心起向南兌井線加之作點識之，亦自兌心起向北兌夬線加之作點識之，北點即驚蟄、寒露日正午日影所到。南點即清明、白露日正午日影所到也。次即原定尺取第四限即十五度之切線之底，自兌心起南北向兌井夬線上加之作點識之，北南點即雨水、霜降穀雨、處暑日正午日影所到也。次即原定尺取第六限即二十二度半之切線之底，自兌心起南北向兌井夬線上加之作點識之，北南點 即立春夏立秋冬日正午日影所到也。次即原定尺取第八限即三十度之切線之底，自兌心起南北向兌井夬線上加之作點識之，北南點即小雪、大寒小滿、大暑日正午日影所到也。次取原定尺取第十限即三十七度半之切線之底自兌心起南北向兌井夬線之上加之作點識之北南點即大雪、小寒芒種、小暑日正午日影所到也。 右所定節氣二十皆本日正午日影所到也，合之，兌心爲春分、秋分，井爲夏至，夬爲冬至，則正午二十四節氣全矣。 井夬正午線之左之右各時刻線，其定節氣之法皆以本線之半或用赤道南半線或用赤道北半線之度置尺十二限處爲底定尺。而遞取其第二限、四限、六限、八限、十限各底，以次皆自本線之心起，向南亦向北加之作點識之。悉同上兌井夬線求各節氣法。幅短借作直圖，須橫觀之。 正午左右各時刻線均定節氣訖，乃於各線點識處各作橫線聯之，次於各橫線兩端盡處將各節氣以次書之如右圖。 士琳案：此段原稿在圖前，今移於圖後，故於圖上增一右字。 晷體橫寛，北甲乙，南丙丁，西丙甲，東丁乙，廣狹長短無定度。取足畫線書字而已。丙丁盡處各餘少許爲橫軸，以入晷牀兩弧心氐小孔也。 問尺十二限即切線之四十五度也今分之爲六節氣，何也？曰：太陽一日行一度十五日行十五度，爲一節氣。若六節氣則滿九十度矣。日晷尺與切線同理，切線無九十度，平行無度，終古不能與割線相遇，故不立等。不得以而用其半故以十二限之四十五度代九十度，而所取各限亦俱用其半也≤第二限七度半以代十五度爲一節氣。第四限十五度以代三十度爲二節氣。第六限二十二度半以代四十五度，爲三節氣。第八限三十度以代六十度，爲四節氣。第十限三十七度半以代七十五度，爲五節氣。而十二限四十五度代九十度，爲六節氣。用半實用全法，窮而巧法生矣。 問：晷面各時刻線自赤道至二至皆二十三度半也，何以又分爲九十度也？曰：太陽黃道周天三百六十度分爲四分，每分九十度，謂之象限。一象限又分爲六分，每分十五度，爲一節氣。太陽自冬至至春分，春分至夏至，夏至至秋分，秋分至冬至，每一象限各行九十度，各有六節氣，此太陽行黃道之經度也。而其行赤道之緯度則非九十度也，則仍不出二十三度半也。何也？九十度者，黃道自東而西之度，而二十三度半者，黃道與赤道相距南北之度也。 問：以九十度六節氣加於晷面，南北緯線何以不挨次蟬聯，而必逐次皆自兌心起度也？曰：天體渾圓而非平圓，故太陽所躔緯度可以平算，而不可以平視平測。自春分至清明，自秋分至寒露，日行黃道經度十五度，而其緯度則非十五度，乃六度十九分也。自立夏至小滿，自立冬至小雪，日行黃道經度亦十五度，而其緯度乃四度也。自芒種至夏至自大雪至冬至日行黃道經度亦十五度，而其緯度則一度弱也。蓋太陽近二分日其差多，近二至日其差少，故所取各限之底必自兌心起度而累加之也。 晷牀 用薄片作象限弧，二必等弧半徑度與晷體丙丁度等。亦同丁乙弧平分九十度，度皆從弧心氐斜出直線聯之，皆作孔洞之，孔當各度兩界線之中，與弧線平行密排如齒如圖。 次用平版廣狹長短視晷體差豐亦橫置之，以兩弧鬥氐就版，氐南斗北植立版之兩端，兩弧東西正對勿稍欹側。其一以膠或釘固之其一安晷後乃固之，版近北安指南車一具，如角。幅短改作直圖，須橫觀之。 士琳案：弧版與晷牀平行，故原圖易作鈍角。次於兩弧心氐盡處各橫穿圓孔一，東西正對如右圖。乃以晷體丙丁盡處兩橫軸入之，令晷體低昂任意如轆轤然。 用法 定指南針，查本方北極出地平高若干度，各省北極高度見下第四法北極攷次將晷體甲乙昂起，乃數晷牀旁植兩弧之度，自北之鬥處數起，至本方北極高度，以長物爲支條入本度之孔而橫貫於彼弧，本度之孔以支晷，令晷體爲支條所橫格斜立向南則晷體斜度如本方北極高度，而表端鹹正指本方赤道矣。 若晷體稍厚則支條斷不可施於本度之孔，必幹其下一二度之孔斟酌用之。須令晷厚體平分處與本度兩界線之中心一點相準，否則晷體厚則晷面高於本度，差毫釐失千里矣。 第二法 斜立向正東之日晷 此晷亦作於平面，用時視本方赤道之高下斟酌斜支，隨處可以通用。 法曰：作直線即赤道也如乾坤，以乾爲表位，乾作小孔以植表也。 次任取長數爲表，植之於表位乾之孔，務直，勿使偏倚。而表長如鹹乾。 次以鹹乾表度置尺十二限爲底定尺，而取尺第一限至二十二限之各底移於乾坤線上，自乾點起以次蟬聯順下而各作點識之。第一點乾即卯正初刻也，次卯正一刻，次卯正二刻，次卯正三刻，自是而下四點爲辰初之四刻，次四點爲辰正之四刻，次四點爲巳初之四刻，次四點爲巳正之四刻，又次爲午初。此春秋分日各時刻日影所到也。若晷小，近卯處難容密線，則併取二限爲一點，或併取四限爲一點。 次定二至日各時刻太陽距赤道緯度，次定各節氣悉同前第一法，但彼分左右，此則自上而下耳。 晷體長方剡其下坤端綴小圓釘如軸以入晷牀弧心氐小孔也。 晷牀 用薄片作象限弧，一弧平分九十度，度皆從弧心氐斜出直線聯之，皆作小孔洞之，孔當兩界線之中，與弧線平行，密排如齒，如後圖。 弧兩面作線必等 士琳案：原稿晷牀文一段本在圖後，故末雲：如右圖。今因所空之行太狹難容晷圖地位，故移圖在文後，而改右圖爲後圖。 次用平版，長與弧氐鬥等，廣視長稍殺或等，乃以弧氐鬥就版，鬥南氐北植立版中央，以膠或釘固之。勿令欹側弧之東或西安指南軍一具，乃於弧心氐作小圓孔洞之，以晷體坤端小圓軸入之，如轆轤然。 用法 定指南針，查本方赤道高若干度赤道高度同北極餘度，見第四法北極攷乃數晷牀弧度。自南之鬥數起，至本方赤道高度，將晷體上下斜轉之，令晷體乾坤線恰當本度兩界線之中，乃於乾坤線上作小孔洞之，令與本度之孔準對，以樞貫之，則乾坤線如本方赤道而成正東日晷矣。 第三法 斜立向正西之日晷 説同前 此晷作法同第二法，但面向正西，故其時刻次序皆逆行自下而上。第一點乾即酉初三刻交正也，次酉初二刻，次酉初一刻，次酉初初刻自是而下爲申正，爲申初，爲未正，爲未初，爲午末。又其節氣惟中一線，春分、秋分同第二法，餘俱與第二法相反。如彼爲冬至，此爲夏至。彼爲芒種、小暑，此爲大雪、小寒之類。至晷牀用法俱同第二法，但彼向正東故晷體安於弧之東面此向正西故晷體安於弧之西面耳。圖同第二法。 第四法 平臥向正北之日晷 此晷視本方北極之高下，定表之長短與表位及晷心之遠近，惟本方鄰近南北二百五十裡，東西四百里以內可用，餘不能通用。 法曰：作直線如乾坤，乾南坤北。 次於乾坤直線中任定一點爲表位如艮。艮作小孔以植表也。 次作表。或銅或銕、務直毋曲，細長如針鋭其兩端。任長一寸或數寸植立於表位艮其一端入艮之孔。務直毋稍偏倚表長如鹹艮。 次以鹹艮表度置尺十二限處爲底定尺。而取兩尺間本方北極出地高度如浙江北極高三十度在尺第四限之類，若其度爲尺各限所不備者，則於相近之限上下斟酌取之。之底移於乾坤線，自表位艮向北截之，作識於艮北如兌，爲艮兌。 次即原定尺。取本方北極高度之餘度，如浙江北極餘度六十度在尺第十二限之類，若其度爲尺各限所不具者則於相近之限上下斟酌取之。之底亦移於乾坤線，自表位艮向南截之，作識于艮南如巽，即晷心也爲艮巽。 問，北極高度餘度，雲：何曰高度者，北極出地平之度也。餘度者，北極距天頂之度也。餘者對正之稱周天大圓三百六十度四平分之每分九十度即地平至天頂之度也。故北極出地平一度，其餘度必八十九度。北極出地平二度，其餘度必八十八度。正盈一度，則餘必絀一度，正絀一度，則餘必盈一度，正餘相爲盈絀，並之必滿九十度。故即正可以知餘，即餘可以知正也。 次於兌點左右引長之作橫線如坎離。與乾坤直線十字正交於兌，如圖。 士琳案：圖漏坎離字今補。 問：坎離雲何？曰：即赤道也。即春秋分日日影所到也。次以表長鹹艮當句，以艮兌當股，而取其弦度鹹兌，置尺十二限爲底定尺，而取其自第一限至二十二限之各底，次第移於坎離橫線兌點之左右，右左自兌起蟬聯而至於坎離，而各識之，乃自晷心巽向各識處斜出直線，聯之，即得午前午後各時刻，如右圖。兌左右各時刻詳見第七法。 問：鹹艮表，曰：半徑也。問艮兌，曰：北極高度之正切線也，問艮巽，曰：北極高度之餘切線也。何以知其然也？曰：試以鹹爲心，艮爲界，作卯辰醜艮大圈，次引長鹹艮線至於卯，又作截腰橫線於卯辰線十字正交於圖心，如醜辰。又於卯醜弧圓形似弓背之弧故曰弧艮辰弧之間斜作直線過心如申未，次於卯辰弧艮醜弧之間亦斜作直線與申未線十字正交於圖心如巳丁。夫大圓周天三百六十度也，卯艮直線醜辰橫線十字正交，將大圈平分爲四分，各得九十度。卯辰弧，艮辰弧，卯醜弧，艮醜弧，皆九十度也。醜辰爲地平，卯爲天頂，鹹爲地心，巳丁爲赤道申未爲北極申醜則北極出地平之高度，申卯則北極高度之餘度也。巳辰赤道出地平之度，巳卯則赤道距天頂之度也。赤道與北極相去必九十度，相爲高低，此高則彼低，此低則彼高。故北極出地平一度，則赤道出地平必八十九度，若如京師北極出地平四十度，則京師赤道出地平必五十度故圓中四甲度皆等四乙度亦皆等，此天道之不易者也。鹹醜也，鹹辰也，鹹卯也，鹹艮也，咸申、鹹巳、鹹未、咸丁也各得大圓徑之半，故曰半徑。凡自圓心出線至弧界皆爲半徑即皆句也。若無圓內之正弦爲句股，則半徑又爲弦。其出圓外而與切線相遇者，曰割線。割線有二，與正切相遇者曰正割，與餘切相遇者曰餘割。正割也，餘割也，皆弦也。圓外截圓之線，其直與卯艮線平行橫與醜辰線平行而相遇於割線者，曰切線。切線亦有二，一曰正切，一曰餘切。二線互爲正餘，此爲正則彼爲餘，彼爲正則此爲餘。割線亦然。正切也餘切也皆股也。圓內弦線亦爲股。句股爲正方角，無論巨細但同弦則反正順逆其形必兩兩相等，故可以互求，此算理之不易者也。如右圖。鹹艮表上指天頂下至地心即鹹卯也，亦即鹹醜也。艮爲表位，鹹艮兌句股形與鹹醜子形等，故艮兌正切與北極高度之正切子醜必等，而鹹兌正割與北極高度之正割鹹子亦無不等也。巽爲晷心，鹹艮巽句股形與鹹卯寅形等，故艮巽餘切與北極高度之餘切卯寅必等。而鹹巽餘割與北極高度之餘割卯寅亦無不等也。然則晷用艮兌實用子醜也。晷用鹹兌實用鹹子也。晷用艮巽實用卯寅也。玩圖自明。 又論曰：赤道高低隨各方北極之高低爲轉移，故北極度高則赤道低，低則艮兌之距遠，艮巽之距近，而鹹艮表宜短。若北極度低則赤道高，高則艮兌之距近，艮巽之距遠，而鹹艮表宜長。故表之長短，表位及晷心之遠近，必準乎北極之高下，然後赤道有定位。而春秋分兩日，日躔赤道表端之割線乃終日指坎離赤道線上矣。 各省北極出地度赤道高度攷北極餘度與赤道高度同【詳細數據見原書】 第五法 立面向正南之日晷 並同第四法。但所定艮兌之距于本方北極餘度之底取之，所定艮巽之度于本方北極高度之底取之，蓋以北極高度定晷心，以北極餘度定表位爲稍異耳。又其時刻逆旋與第四法相反也。 第六法 斜立向正北正對北極之日晷 此晷亦作於平面，用時支之使向北斜立，其斜度視各方赤道高下之度，隨處可以通用。 法曰：此晷不煩用尺，但取方版爲晷體，北如甲乙，南丙丁，西丙甲，東丁乙。其甲乙盡處餘少許爲兩橫軸。晷體上下二面務極平正，以版中心一點爲晷心作大圓于方內，平分圓周爲九十六限，其向北正中一線即正午也。午右左四限爲午初午正之四刻，次右左四限爲巳正未初之四刻，次右左四限爲巳初未正之四刻，次辰正申初四刻，次辰初申正四刻，次卯正酉初四刻，次卯初酉正四刻，將各時刻挨次書於圓外版上。其戌亥子醜寅五時，日入地平，影不能到，毋庸排寫，乃於晷心作小孔洞之，務直毋曲直貫於下麵中心之一點。下麵亦以孔爲心作大圓。亦平分爲九十六限，其向北正中一線亦正午也。而其左右各時刻則皆與上面相反而逆旋如圖。 乃作表，表長短無定度鋭其兩端，以晷心小孔爲表位乃植表，表穴孔而出於彼面，令上下二面各得表之半。 晷牀 用薄片作象限弧，二必等。弧半徑與晷體丙甲丁乙同等，其作線作孔俱如第一法。兩弧心氐盡處亦各橫穿小圓孔，俱如前法。次用平版視晷體差大以兩弧氐鬥就版，鬥南氐北植立版，兩端兩弧東西正對，毋稍欹側。其一以膠或釘固之其一安晷後乃固之，版近南安指南針如角。 乃以晷體甲乙兩橫軸入兩弧心氐之小圓孔若轆轤然。令晷體低昂適意。 用法 定指南針，將晷體丙丁昂起，次查本方赤道高若干度，赤道高度攷見上。乃數晷牀旁植兩弧之度，自南斗數起，至本方赤道高度，以長物爲支條入本度之孔，而橫貫於彼弧之孔以支晷，令晷體爲支條所橫格。斜立向北則晷體斜度如本方赤道高度而晷上面之表指北極，下面之表指南極也。故自春分以後太陽行北緯，則影見於上面而下面無影，秋分以後太陽行南緯則影見於下面而上面無影，若春秋分兩日太陽正躔赤道，則上下二面皆無影矣。