《數理精藴.下編》

作地平日晷法（以北極出地四十度爲準） 法先作南北、東西線相交於甲，各成直角。次作甲乙丙晷表。取甲角五十度爲赤道高丙角四十度爲北極高，而乙角爲直角。次取晷表之甲乙度截南北線於丁爲半徑作圜。用比例尺分圓線比得十五度、三十度、四十五度六十度、七十五度之各分分圜界作識乃自丁圜心引出各界作線至東西線上即得午正前後各初正時刻。或以甲乙爲半徑，用比例尺正切線比得十五度、三十度、四十五度、六十度、七十五度之各切線，自甲左右作識於東西線上，亦即午正前後各初正時刻。（甲爲午正，距甲十五度前爲午初，後爲未初。距甲三十度前爲巳正，後爲未正。距甲四十五度前爲巳初，後爲申初。距甲六十度前爲辰正後爲申正。距甲七十五度前爲辰初，後爲酉初也。）乃以晷表之丙爲晷心，至各點作線，即時刻線也。卯正、酉正各距午正前後九十度，故自丙晷心與東西線平行作線，即卯正、酉正線。卯正以前、酉正以後，則日轉在北，影轉在南，故與辰初、酉初反對作線，即卯初、戌初線也。次按刻細分，則自午正甲點每加三度四十五分而得一刻，蓋十五度當四刻，而三度四十五分則當一刻也。此法蓋因北極爲天之樞，赤道爲天之帶，太陽雖由黃道而行，時刻皆以赤道而定。故以晷表之甲乙指赤道，丙乙指北極，而東西線即爲赤道線，丙乙即爲過極經圈，甲乙即爲半徑。午正太陽在正南，則影在正北，若偏東偏西若干度則其切線即其影之長。故以甲乙爲半徑作圜而分圜界者，即所以求切線。至於用比例尺正切線者，正以切線分時刻也。 又地平日晷作節氣線法 法以甲乙丙晷表之甲角與丙乙平行作戊己線，而以甲乙爲半徑用比例尺正切線比得二十三度三十分二十二度四十分，二十度十二分，十六度二十三分十一度三十分五度五十五分之各切線自甲左右作識於戊己線上即得各節氣日影界。（春秋分爲赤道，冬至距赤道南，夏至距赤道北各二十三度三十分。小寒、大雪距赤道南，芒種、小暑距赤道北各二十二度四十分。大寒、小雪距赤道南，小滿、大暑距赤道北各二十度十二分。立春、立冬距赤道南，立夏、立秋距赤道北各十六度二十三分。雨水、霜降距赤道南，穀雨、處暑距赤道北各十一度三十分。驚蟄、寒露距赤道南，清明、白露距赤道北各五度五十五分。）或以二十三度三十分之正切線甲戊爲半徑作圜將甲乙線引長平分爲四象限用比例尺分圓線比得十五度、三十度、四十五度、六十度、七十五度之各圜界，又以乙戊爲半徑作戊己弧，而依所分甲戊小圜界各與甲乙平行作線截戊己弧界。又自乙至戊己各弧界作線截戊甲己線，亦即得各節氣日影界。（甲爲春秋分，距甲十五度左爲驚蟄、寒露，右爲清明、白露，距甲三十度左爲雨水、霜降，右爲穀雨、處暑，距甲四十五度左爲立春、立冬，右爲立夏、立秋，距甲六十度左爲大寒、小雪，右爲小滿、大暑，距甲七十五度左爲小寒、大雪，右爲芒種、小暑。）乃自乙至各點作線與午正時刻線相交，其相交之點即午正各節氣日影界也。若求未初節氣線，則先以丙乙爲半徑作圜，又依甲乙度截午正線於庚，而以未初線與赤道相交之辛點至庚相距之度截圜界於壬，作壬辛線，乃與壬辛取直角作癸子十字線，以壬辛爲半徑如前法比得二十三度三十分等距緯之各切線，於辛左右作識於癸子線，乃自壬至各點作線，與未初時刻線相交，其相交之點即未初各節氣日影界也。倣此類推，則得各時刻之各節氣日影界。或用捷法另取一紙畫甲乙丙表式將乙甲、乙戊、乙己類各節氣線俱畫長些，如求未初節氣線，則以丙合於晷心丙，而以甲乙春秋分線合於未初時刻線，與赤道相交之辛點，乃於各節氣線與未初時刻線相交之處俱作點識之，即得未初各節氣之日影界，餘倣此，乃將各時刻線與節氣線相交之點作線聯之，即成節氣線也。蓋春秋分日行赤道，而晷表之甲乙指赤道，故赤道線即爲春秋分線。春秋分時日在赤道，則午正日影在甲，春分以後，秋分以前，日在赤道北。夏至而極北，則影在南。春分以前，秋分以後，日在赤道南。冬至而極南，則影在北。故以甲乙爲半徑，而取各距度之切線爲各節氣之影界且切線與半徑成直角故先與甲乙取直角作十字線而後得其切線也。（甲乙本直立之線，與之取直角則戊端應在晷面下，己端應在空中出晷面上。而其距午正線之遠近，與平面斜線之度同，蓋平與立之理一也。）其以冬夏至之影界爲半徑作圜，用分圓線求之者，蓋半徑與冬夏至距緯正弦之比同。於各節氣距二分度之正弦與各節氣距緯正弦之比，故以甲戊爲半徑作圜，爲一率。又以乙戊爲半徑作戊己弧，則甲戊切線即變爲冬夏至距緯之正弦，爲二率。而用分圓線所分各圜界即得各節氣距二分度之正弦，爲三率。其自圜界作線截戊己弧即得各節氣距緯之正弦爲四率。既得各節氣之距緯度又自乙至各弧界作線，截戊甲己線，則戊甲己線仍爲各節氣距緯之切線。故用正弦即如用切線也。然雖得各節氣之影界，而猶不在午正線之上，故自乙至各節氣點作線交於午正線乃自乙表端照至各節氣點所必經之處故爲午正節氣日影界也。至於未初春秋分時，則日影至辛，乙辛爲影線，成乙甲辛勾股形，甲乙爲股，（甲乙表直立故爲股。）甲辛爲勾，乙辛爲弦，故以甲乙度截午正線於庚，而取庚辛之度即與乙辛影線之度等。又乙辛線與丙乙爲直角，成丙乙辛，立勾股形，丙乙爲勾，乙辛影線爲股，丙辛時刻線爲弦。（蓋丙乙爲過極經圈，乙辛爲赤道影線，經圈與赤道無在而非直角，故乙辛與影線亦無在而非直角也。）故以丙乙爲半徑作圜，而取庚辛度截圜界於壬成丙壬辛平勾股形。即與丙乙辛立勾股形相等。（丙壬與丙乙等壬辛與乙辛等丙辛仍爲弦線故成相等勾股形。）爰以壬辛影線爲半徑與壬辛作直角，取各節氣之切線爲各節氣日影界，皆與午正取節氣線之法同。至其捷法乃以已成之勾股，已分之切線轉移用之，尤爲便捷也。 又向南壁上畫立面日晷法（以北極出地四十度爲準） 法先作直線及東西橫線相交於甲，各成直角。次作甲乙丙晷表，取甲角四十度，丙角五十度，而乙爲直角，乃依地平日晷作時刻線法求之，即得各時刻線。蓋晷表之甲丙指天頂，甲乙指赤道，故丙甲乙角定爲四十度，則乙甲丁外角爲五十度，即赤道之高度也。丙乙指南極，丙戊指地平，故甲丙乙角定爲五十度，則乙丙戊外角爲四十度，乃南極入地之度，即北極出地之度也。甲乙既指赤道，丙乙既指南極，則丙乙即爲過極經圈，甲乙即爲半徑。午正太陽在正南，則影在正北，若偏東偏西若干度，則其切線即其影之長皆與地平日晷之法同。至於作節氣線之法亦與地平日晷同，但赤道線以上爲春分前，秋分後至冬至之節氣線。赤道線以下爲春分後，秋分前至夏至之節氣線。蓋春分以後，秋分以前日行赤道北，夏至而極北，其度高故其影在下也。秋分以後，春分以前日行赤道南，冬至而極南，其度卑故其影在上也。 又向東壁上畫立面日晷法（以北極出地四十度爲準） 法先安甲乙直表與壁面成直角（甲乙表不拘尺寸）。次作甲丙垂線及甲丁橫線各成直角。次以甲爲心作甲丙丁象限弧，用比例尺分圓線比得赤道高五十度之弧爲丁戊。自甲至戊作甲戊赤道線，乃以甲乙表長爲半徑用比例尺正切線比得十五度，三十度，四十五度，六十度，七十五度之各切線於赤道線上作識，按識作十字線即成時刻線也。（甲點爲卯正，距甲十五度前爲卯初，後爲辰初。距甲三十度爲辰正，距甲四十五度爲巳初，距甲六十度爲已正距甲七十五度鳥午初。）蓋時刻生於赤道春秋分時卯正日出正東興表對射故無影，若向南若干度則其切線即其影之長。至於午正則距卯正九十度切線與割線平行，故無切線，而日影即與壁面平行，故亦無影也。若於向西壁上畫晷，則以午初爲未初，巳正爲未正，巳初爲申初。辰正爲申正，辰初爲酉初，卯正爲酉正，卯初爲戌初，餘俱與向東壁上畫晷法同。 又向東壁上立面日晷畫節氣線法 法以乙表端至卯初點相距之度爲半徑，用比例尺正切線比得二十三度三十分，二十二度四十分，二十度十二分，十六度二十三分，十一度三十分，五度五十五分之各切線，於卯初線左右作識即得各節氣日影界。（春秋分爲赤道，冬至距赤道南，夏至距赤道北各二十三度三十分。小寒、大雪距赤道南，芒種、小暑距赤道北各二十二度四十分。大寒、小雪距赤道南，小滿、大暑距赤道北各二十度十二分。立春、立冬距赤道南，立夏、立秋距赤道北各十六度二十三分。雨水、霜降距赤道南，穀雨、處暑距赤道北各十一度三十分。驚蟄、寒露距赤道南，清明、白露距赤道北各五度五十五分。）又以乙表端至卯正點相距之度（即甲乙表長）爲半徑比得各節氣距緯度之切線，於卯正線左右作識即爲卯正各節氣日影界。凡各時刻節氣俱以乙表端至各時刻點相距之度爲半徑，比得各節氣距緯度之切線，於各時刻線左右作識即得各時刻各節氣之日影界。將各點作線聯之，即成節氣線也。蓋春秋分時日在赤道，故其影界即在赤道線之上，其自表端至各時刻點相距之度即春秋分各時刻之影線也。若春分以後，秋分以前日在赤道北，夏至而極北，則影在南。春分以前，秋分以後日在赤道南，冬至而極南，則影在北。故以表端至各時刻點相距之度爲半徑，而取各節氣距緯度之切線即爲各時刻各節氣之日影界，聯之即成節氣線也，向西壁法同。